模型六 对角互补模型-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

模型六 对角互补模型 类型一 全等型 1．（2021秋•都江堰市）如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F． （1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时； ①根据条件，可判定△ABE≌△ADF，请直接写出全等的判定依据； ②连接BD、EF，若EF：BD＝2：5，求S△AEF：S菱形ABCD的值； 【答案】（1）① 略 ② 【解答】（1）①全等的判定依据为“ASA”，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AD∥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠ABE+∠BAE＝∠EAF+∠DAF＝90°， ∵∠EAF＝∠ABC， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴全等的判定依据为“ASA”； ②解：连接AC，如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝DC，AC⊥BD， 由①知，△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF， ∴CE＝CF， ∵AE＝AF， ∴AC⊥EF， ∴EF∥BD， ∴△CEF∽△CBD， ∴， 设EC＝2a，则AB＝BC＝5a，BE＝3a， ∴AE＝＝＝4a， ∵，∠EAF＝∠ABC， ∴△AEF∽△BAC， ∴＝（）2＝， ∴＝＝×＝； 2．（2019•鄂尔多斯）（1）【探究发现】 如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是　 ． （2）【类比应用】 如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】 如图3，∠BOD＝120°，OD＝，OB＝4，OA平分∠BOD，AB＝，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长． 【答案】（1） CE+CF＝BC （2） CE+CF＝BC （3）OC＝． 【解答】解：（1）如图1中，结论：CE+CF＝BC．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°， ∵∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴∠BOE＝∠COF， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴BE＝CF， ∴CE+CF＝CE+BE＝BC． 故答案为CE+CF＝BC． （2）如图2中，结论不成立．CE+CF＝BC． 理由：连接EF，在CO上截取CJ＝CF，连接FJ． ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°， ∴∠BCO＝∠OCF＝60°， ∵∠EOF+∠ECF＝180°， ∴O，E，C，F四点共圆， ∴∠OFE＝∠OCE＝60°， ∵∠EOF＝60°， ∴△EOF是等边三角形， ∴OF＝FE，∠OFE＝60°， ∵CF＝CJ，∠FCJ＝60°， ∴△CFJ是等边三角形， ∴FC＝FJ，∠JFC＝∠OFE＝60°， ∴∠OFJ＝∠CFE， ∴△OFJ≌△EFC（SAS）， ∴OJ＝CE， ∴CF+CE＝CJ+OJ＝OC＝BC， （3）如图3中，由OB＞2OA可知△BAO是钝角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，设OH＝x． 在Rt△ABH中，BH＝， ∵OB＝4， ∴+x＝4， 解得x＝或， ∴OH＝或， ∴OA＝2OH＝1或3（舍弃）， ∵∠COD+∠CAD＝180°， ∴A，C，O，D四点共圆， ∵OA平分∠COD， ∴∠AOC＝∠AOD＝60°， ∴∠ADC＝∠AOC＝60°， ∵∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形， 由（2）可知：OC+OD＝OA， ∴OC＝1﹣＝． 类型二 相似型 3．（2021•宜宾）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号） ①点M、N的运动速度不相等； ②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON； ③S△AMN逐渐减小； ④MN2＝BM2+DN2． 【答案】①②③④ 【解答】解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD， ∵在矩形ABCD中，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠DAC＝30°， ∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°， ∴∠DAO＝∠NOA＝30°， ∴AN＝ON＝DN•sin30°＝DN， ∵AN+DN＝AD， ∴AN＝AD， 当M点运动到M'