模型十 主从联动-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

模型十 主从联动 1．（2021•广元）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ． ∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT， ∴∠CDP＝∠QDT， 在△CDP和△TDQ中， ， ∴△CDP≌△TDQ（SAS）， ∴∠DCP＝∠DTQ＝90°， ∵∠CTD＝60°， ∴∠CTQ＝30°， ∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值）， 当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1， 解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H． ∵△DPQ，△DCM都是等边三角形， ∴∠CDM＝∠PDQ＝60°， ∵DP＝DQ，DM＝DC， ∴△DPM≌△DQC（SAS）， ∴PM＝CQ， ∴PM的值最小时，CQ的值最小， 当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝CD＝1， ∴CQ的最小值为1． 故选：B． 2．（2021•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABP＝∠BAD＝90°， ∵△ABF，△APQ都是等边三角形， ∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA， ∴∠BAP＝∠FAQ， 在△BAP和△FAQ中， ， ∴△BAP≌△FAQ（SAS）， ∴∠ABP＝∠AFQ＝90°， ∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝， ∴点Q在射线FE上运动， ∵AD＝BC＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝， ∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°， ∴DH＝DE•sin60°＝×＝， 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为， 故选：A． 3．（2021•宜宾）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是 　　． 【答案】2π 【解答】解：如图，连接OQ， ∵AB＝4， ∴AO＝2， ∵Q为AP的中点， ∴OQ⊥AP， ∴∠AQO＝90°， ∴点Q在以AO为直径的圆上运动， ∴点Q经过的路径长为2π， 故答案为：2π． 4．（2021•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 　 ． 【答案】≤m≤　 【解答】解：如图，取AB的中点M，连接QM，CM， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10， ∵点M是AB的中点， ∴AM＝BM＝CM＝AB＝5， ∵点Q是PB的中点，点M是AB的中点， ∴QM是△APB的中位线， ∴QM＝AP＝， 在△CMQ中，CM﹣MQ＜CQ＜CM+MQ， ∴＜m＜， ∵点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动， ∴当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值， 当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值， 综上，m的取值范围为：≤m≤． 故答案为：≤m≤． 5．（2021•遵义）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值； 将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最