模型七、八 垂线段最短、利用轴对称性质求最值-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

模型七、八 模型七 垂线段最短 类型一 垂线段最短 1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为　　． 【答案】4.8 【解答】解：如图，连接PA． 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴∠BAC＝90°． 又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F． ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴四边形PEAF是矩形． ∴AP＝EF． ∴当PA最小时，EF也最小， 即当AP⊥CB时，PA最小， ∵AB•AC＝BC•AP，即AP＝＝＝4.8， ∴线段EF长的最小值为4.8； 故答案为：4.8． 2．（2019春•博白县期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AP，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴∠BAC＝90°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP． ∵M是EF的中点， ∴AM＝AP， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短， ∴S△ABC＝， ∴， ∴AP最短时，AP＝， ∴当AM最短时，AM＝AP＝． 故选：A． 3．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　　． 【答案】 【解答】解：连接DE． ∵CD＝2BD，CE＝2AE， ∴＝＝2， ∴DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴＝＝， ∴＝＝， ∵DE∥AB， ∴S△ABE＝S△ABD， ∴S△AEF＝S△BDF， ∴S△AEF＝S△ABD， ∵BD＝BC＝， ∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××4＝， ∴△AEF的面积的最大值＝×＝， 故答案为： 类型二 ：“胡不归”问题 4．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 　　． 【答案】 【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10， ∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∵PE⊥BC， ∴PE＝PB， ∴MP+PB＝PM+PE， ∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME， ∵AM＝3， ∴MC＝7， ∵sin∠ACB＝＝， ∴ME＝， ∴MP+PB的最小值为， 故答案为． 5．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 　　． 【答案】 【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵sinA＝＝，AB＝5， ∴BD＝4， 由勾股定理得AD＝， ∴sin∠ABD＝， ∴EP＝， ∴PC+PB＝PC+PE， 即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小， ∴PC+PB的最小值为CH的长， ∵S△ABC＝， ∴4×4＝5×CH， ∴CH＝． ∴PC+PB的最小值为． 故答案为：． 6．（2020•碑林区校级模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，P为AC上一动点，AB＝10，则2BP+AP的最小值为 　 ． 【答案】5+5　 【解答】解：如图，在射线AC的下方作射线AM，使得∠CAM＝45°，过点P作PH⊥AM于H，过点B作BT⊥AM于T，交AC于K． 在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，∠ABC＝60°， ∴BC＝AB•cos60°＝5，AC＝AB•sin60°＝5， ∵∠ATK＝90°，∠TAK＝45°， ∴∠AKT＝∠CKB＝∠CBK＝45°， ∴CK＝BC＝5，AK＝AC﹣CK＝5﹣5， ∴KT＝AK＝﹣，BK＝5， ∴BT＝KT+BK＝， ∵∠PHA＝90°， ∴PH＝PA， ∴2PB+PA＝2（PB+PA）＝2（PB+PH）， ∵PB+PH≥BT， ∴PB+PH≥， ∴PB+PH的最小值为， ∴2PB+PA的最小值为5+5． 7．（2019•高新区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴