模型九 与圆有关的最值（含隐圆问题）-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

模型九 与圆有关的最值(含隐圆问题) 类型一 点圆最值 1.(2020•鄞州)如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6,⊙A、⊙B的半径分别为4和2,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE+PF的最大值是( ) A.6+12 B.6+16 C.18 D.6 【答案】A 【解答】解:如图,连接PB,延长PB交⊙B于F,连接PA交⊙A于E, 要求PE+PF的最大值,可以转化为求PA+PB的最大值. ∵点P在线段CD上, ∴①当点P与点C重合时,PA最大,(因为∠ACD<∠ADC,所以,点C是“小角”点); ②当点P与点C或者点D重合时,PB最大.(因为∠ACD=∠ADC,所以,点C、D均是“小角”点).所以,根据①、②可知,当点P与点C重合时,PA、PB同时取得最大值,此时PA+PB的值最大, 在△ACD中,∵∠ADC=120°,AD=DC=6, ∴AC=2×6×=6, ∴PE+PF的最大值=AC+AE+BC+BF=6+12. 故选:A. 2.(2021•陕西)如图,正方形ABCD的边长为4,⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移(⊙O可以与该正方形的边相切),则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 3+1 . 【答案】3+1 【解答】解:当⊙O与CB、CD相切时,点A到⊙O上的点Q的距离最大,如图, 过O点作OE⊥BC于E,OF⊥CD于F, ∴OE=OF=1, ∴OC平分∠BCD, ∵四边形ABCD为正方形, ∴点O在AC上, ∵AC=BC=4,OC=OE=, ∴AQ=OA+OQ=4﹣+1=3+1, 即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1, 故答案为3+1. 类型二 线圆最值 3.(2020•仙居县)如图,已知AB是⊙O的弦,C是⊙O上的一个动点,连接AC、BC,∠C=60°,⊙O的半径为2,则△ABC面积的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解答】解:过C作CM⊥AB于M, ∵弦AB已确定, ∴要使△ACB的面积最大,只要CM取最大值即可, 如图所示,当CM过圆心O时,CM最大, ∵CM⊥AB,CM过O, ∴AM=BM(垂径定理), ∴AC=BC, ∵∠ACB=60°, ∴△ABC是等边三角形, 设AB=BC=AC=a, 则AM=BM=a,由勾股定理得:CM=a, 在Rt△OBM中,OB=2,OM=a﹣2,bm=a,由勾股定理得:(a﹣2)2+(a)2=22, a=2, 即AB=2,CM=3, 则△ABC的面积是×AB×CM=×2×3=3, 故选:A. 4.(2021•凉山州)如图,等边三角形ABC的边长为4,⊙C的半径为,P为AB边上一动点,过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 . 【答案】3 【解答】解:连接CP、CQ,作CH⊥AB于H,如图, ∵等边三角形ABC的边长为4, ∴AB=CB=4,∠BCH=ACB=60°=30°, ∴BH=AB=2,CH=BC=×4=2, ∵PQ为⊙C的切线, ∴CQ⊥PQ, 在Rt△CPQ中,PQ==, ∵点P是AB边上一动点, ∴当点P运动到H点时,CP最小, 即CP的最小值为2, ∴PQ的最小值为=3, 故答案为:3. 类型三 定点定长作圆 5.(2020•德阳)已知:等腰直角三角形ABC的腰长为4,点M在斜边AB上,点P为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM的最小值为( ) A.2 B.2﹣2 C.2+2 D.2 【答案】B 【解答】解:∵等腰直角三角形ABC的腰长为4, ∴斜边AB=4, ∵点P为该平面内一动点,且满足PC=2, ∴点P在以C为圆心,PC为半径的圆上, 当点P在斜边AB的中线上时,PM的值最小, ∵△ABC是等腰直角三角形, ∴CM=AB=2, ∵PC=2, ∴PM=CM﹣CP=2﹣2, 故选:B. 6.(2021•嘉兴)如图,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,点P从点A出发沿AB方向运动,到达点B时停止运动,连结CP,点A关于直线CP的对称点为A′,连结A′C,A′P.在运动过程中,点A′到直线AB距离的最大值是 ;点P到达点B时,线段A′P扫过的面积为 . 【答案】,(1+)π﹣1﹣. 【解答】解:如图1中,过点B作BH⊥AC于H. 在Rt△ABH中,BH=AB•sin30°=1,AH=BH=, 在Rt△BCH中,∠BCH=45°, ∴CH=BH=1, ∴AC=CA′=1+, 当CA′⊥AB时,点A′到直线AB的距离最大, 设CA′交AB的延长线于K. 在Rt△ACK中,CK=AC•sin30°=, ∴A′K=CA′﹣CK=1+﹣=. 如图2中,点P到达点B时,线段A′P扫过的面积=S扇形A′CA﹣2S△ABC=﹣2××(1+)×1=(1+)π﹣1﹣. 故答案为:,(1+)π﹣1﹣