专题1 分类讨论含参函数的单调性-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

分类讨论含参函数的单调性 1 导数与函数单调性的关系 在某个区间内,若,则函数在这个区间内单调递增; 若,则函数在这个区间内单调递减. 2 对含参函数单调性的分析思路 (1) 如何分析原函数的单调性? 答:分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性. (2) 那如何分析导函数的正负性呢?。 答:数形结合,若能得到导函数的“穿线图”(即解导数不等式,与其零点有莫大关系)),看图“说话”便可,进而得出原函数的“趋势图”(即原函数的大致趋势)也不难了(看下图). (导函数看“零点”,原函数看单调性) (3) 那要得到导函数的“穿线图”,要注意什么呢? 答:掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型,画“穿线图”思考以下问题: ① 导函数是否存在零点; ② 若存在,有几个零点呢?若有两个以上,哪个零点大? ③ 零点是否在定义域内? (4) 怎么做到准确的分类讨论呢? 答:① 熟悉模型,确定分类讨论的标准; ② 做到分类讨论“不漏不重”,把每项分类看成一个集合,每个集合的交集为空集则“不重”,所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”. 3 各模型分类讨论的标准 分类讨论要确定每步分类的标准,做到有根有据. “一次函数”型:是否一次函数,直线斜率大于0还是小于0,函数零点与定义域端点的大小; “二次函数”型:确定是否二次函数,开口方向,判别式(是否有零点),零点比较大小,零点与定义域端点的大小; “指数函数”型:是否存在零点;利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论. 【题型一】原函数图象与导函数图象间的转化 【典题1】设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象可能是( ) A. B. C. D. 【解析】由的图象可知,函数的增区间为,; 减区间为,;观察选项可知,只有选项符合题意;故选:. 【点拨】导函数的零点才影响到导函数的正负性,从而影响到原函数单调性,而没影响!充分理解导函数的穿线图与原函数的趋势图之间的关系. 1 (★) 函数的图象如图所示,则导函数的图象可能是 ( ) 【答案】D 2 (★) 已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数), 则的图象可能是( ) 【答案】 B 【题型二】 “一次函数”型 【典题1】求函数的单调区间. 【解析】的定义域是,(优先讨论函数定义域) , (通分,,则的正负性等价于的正负性) (判断的函数类型,分和) (1)当时,,在上递增; (2)当时,令,解得, (一次函数的斜率正数还是负数会影响导函数的正负性,分和讨论;同时注意零点与定义域端点的比较,结合图像就容易理解) ①当时,,在上,,递增; ②当时,, 在上,,递增;在上,,递减; 综上所述, 当时,在上递增;当时,在上递增,在上递减. 【点拨】 ① 本题分类讨论的思考: ; ② “一次函数”型要注意的是:是否一次函数,直线斜率大于0还是小于0,函数零点与定义域端点的大小! ③ 本题对于导函数的分类讨论,您还可以有两个角度: (1)从代数角度,,则时,而时有零点; (2) 看成分式函数上下平移得到,则时图象与轴相离且,而时与轴相交,即有零点.故分类的角度可以多样的,要灵活处理. 1 (★★) 求函数的单调区间. 【答案】若,在上为增函数; 若,则在上为减函数,在上为增函数; 若,则在上为增函数,在上为减函数. 【解析】 令,即 (这里需要对方程的类型讨论) (1)若时,,在上为增函数, (2)若时,则由得 (这里需要对的斜率讨论) ① 若时, 当时,,递减;当当时,,递增; ② 当时, 当时,,递增;当时,,递减; 综上所述:若,在上为增函数; 若,则在上为减函数,在上为增函数; 若,则在上为增函数,在上为减函数. 2 (★★) 已知是实数,求函数的单调区间. 【答案】当时,在递增; 当时,在递减,在递增. 【解析】函数的定义域为, ,由得. (考虑是否落在导函数的定义域内,需对参数的取值分及两种情况进行讨论) (1)当时,则在上恒成立,所以的单调递增区间为. (2)当时,由,得;由,得. 因此,当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为. 综上所述 当时,在递增; 当时,在递减,在递增. 3 (★★)求函数的单调区间. 【答案】若时,在上递增; 若时,在上递增,在递减. 【解析】;(求导后通分) 的定义域是, 与的符号是一致的. (那我们只需要在各区间符号问题,注意数形结合) (1)若时,在上递增;(判断的函数类型) (2)若时,令,得; ①若时,当时,,递增; ②若时, 当时,,递增;当时,,递减; 综上所述 若时,在上递增; 若时,在上递增,在递减. (该题把导函数看成反比例函数的图像进行更容易些) 【题型三】 “二次函数”型 【情况1】讨论开口方向 已知函数, 当时,讨论函数的单调性. 【解析】的定义域为, , (因