专题3 单变量存在恒成立与存在性问题-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

单变量恒成立与存在性问题 恒成立问题、存在性问题归根到底是最值问题. 1 恒成立问题 恒成立在上的； 恒成立在上的； 2 存在性问题 恒成立在上的； 恒成立在上的； 3常见处理方法 方法1 直接构造函数法：求恒成立恒成立. 方法2 分离参数法：求 其中恒成立恒成立. 方法3 变更主元：题型特征(已知谁的范围把谁作为主元)； 方法4 数形结合法：求恒成立证明在的上方； 方法5 同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致，再通过构造的函数单调性进行求解； 方法6 放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所求不等式恒成立的目的； 学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较简洁，建议学习时一题多解，多发散思考. 方法1 直接构造函数法与分离参数法 以下通过几题让大家感觉下直接构造函数法与分离参数法的优劣性！ 【典题1】 若恒成立，求的取值范围. 【解析】方法一 分离参数法 ， 而这不难证明， (确认正负，它会影响不等号方向是否改变，若不确定要分类讨论) 恒成立，设 (分离参数成功，只需求的最小值) ， (分析单调性分析正负性分析的正负性) 令，则， 当时，，递减；当时，，递增； 在处取到最小值，即. . (则的正负性就由确定) 那当时，，递减；当时，，递增； ， . 方法二：直接构造函数法 令，定义域是， (问题可以转化为求) ， 若时， 当时，，递减；当时，，递增； 即， 若恒成立，则，解得， ， 若时，，那不可能恒成立的； 综上. 【点拨】 方法一分类参数法，把问题转化为不含参函数的最值问题，是大家乐见的.但注意点有二，其一的证明，它的正负确定不等号方向要变号，若不确定要分类讨论运算量也不小；其二分离后得到，挺复杂的函数，故分离参数后得到函数比较复杂的(求导难、要多次求导等)，可考虑下是否使用分离参数法； 方法二直接构造函数法，它的问题在于函数含参，意味着大多数情况要分类讨论，这是大家头疼之处.本题属于导函数是“二次函数”型，研究单调性时的分类讨论略显麻烦，但“若时，”这点若看到，避免陷入较大运算量了. 【典题2】已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】(1)过程略，函数有极小值，无极大值； (2)方法一 分类参数法 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 当时，恒成立，此时， 当时，在上恒成立， 令，则， 由(1)知，当时，，即； 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上，实数的取值范围是． 方法二 直接构造函数法 在上恒成立等价于在上恒成立 令，则， 此时很难分析导函数的正负性，故很难求原函数的最小值. 【点拨】本题利用分类参数较好的完成，难度不大，而直接构造函数法由于含参导致分类讨论难而难产了！ 【典题3】设， (1)若，求的单调区间； (2)若当时，恒成立，求的取值范围. 【解析】(1)略 (2) 方法一 直接构造函数法 ； 当时，恒成立当时，恒成立； 令，则， (下面就导函数是否存在零点，分和讨论，若有零点，又根据零点与定义域端点的大小比较，分和讨论) (1) 当时，，递增，，满足题意； (2) 当时，令，解得， 若，即时，在上，递增， ，满足题意； 若，即时， 当时，，递减，而，，不满足题意； 综上，. 方法二 分类参数法 ； 当时，不等式显然恒成立； 当时，恒成立 当时，恒成立当时，恒成立 令，则， 令，则，(二次求导) ，， 在上递增，即， 当时，，递增，， 然而取不到，是没意义的，即在上没有最小值. 这时要用到高等数学知识---洛必达法则， 即当，，所以. 我们可以看看函数图象， 【点拨】 ① 本题直接构造方法较分类参数法由于分类讨论解答过程显得复杂些，但分类参数法容易跳进陷阱，在上没有最小值，最终使用了高等数学知识--洛必达法则才解决，这在高考解答题慎用； ② 那不用洛必达法则有木有其他方法呢？还是有的，用导数的定义， 求，设，则 与洛必达法则结果一致. ③ 分离参数法有时候会遇到这种情况，思考难度就增大了！ 通过以上三题，你可以总结下直接构造函数法和分类参数法的优劣性么？ 1 (★★) 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】当x≥0时，f(x)≥0恒成立， 即x≥0时，ex+ax≥0恒成立， x=0时，1≥0恒成立， x>0时，a恒成立， 令g(x)(x>0)，则g′(x)， 令g′(x)>0，解得：0<x<1，令g′(x)<0，解得：x>1， 故g(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减， 故g(x)max=g(1)=－e，故a≥－e， 2 (★★) 已知函数，若恒成立，