专题2 导数中的二次求导-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

导数中的二次求导 1 二阶导数的概念 如果函数的导数在处可导,则称的导数为函数在处的二阶导数,记为. Eg 若函数,则,. 2二阶导数的意义 二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看,它表示一阶导数的变化率;从图形上看,它反映的是函数图像的凹凸性. 若在内,则在内为凹函数;若在内,则在内为凸函数; Eg ,其二次导数,为凹函数; ,其二次导数,为凸函数; 了解函数凹凸性,对于部分题型有助于更快地找到解题思路,特别是在切线放缩. 3 二次求导的运用 ① 二阶导数在高中教材中没有介绍,我们不好直接使用二阶导数性质,甚至它的符号. ② 二次求导除了可以判断函数凹凸性,还有一个重要运用, 使用场景:某些函数一次求导后,解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性),则需要进行”二次求导”. 思考:若能知道的图像(或草图),其正负性是否更好分析呢?那图如何而来?求导便可画图拉,分析其单调性、极值、最值等,这样一想便有了以下解题步骤; 解题步骤:设,对求导,求出和的解,便可得到的单调性,进而求其最值,不难得到的正负性,由图可知原函数的单调性. 若也很难求解呢?那就要三次求导. 【题型一】判断函数的凹凸性 【典题1】判断以下几个超越函数的凹凸性 【解析】,, 故在上凸,在上凹; (2) ,,故在上凸,在上凹; (3) ,,故在上凹; 【点拨】对于常见的超越函数,需要了解下它们的图象,特别是凹凸性,日后会经常见到它们的踪影,比如二次求导、求最值.、不等式证明、切线放缩等. 1(★) 判断以下几个超越函数的凹凸性 【答案】 1 (1) 在上凸,在上凹 (2) 在上凸,在上凹 (3) 在上凸,在上凹 【题型二】 二次求导与函数的单调性 【典题1】若函数,,设,试比较的大小. 【解析】(要比较的大小,显然想到单调性) ,设, (要知道原函数的单调性,则分析的正负性,而它不太好分析,可构造函数二次求导,分析其单调性最值得到其函数图像便利于分析其正负性) 则 当时,,即在上递减, ,(此时得到函数的草图,正负性便确定) ,在上递减, 当,,即. 【点拨】 ① 要研究函数的单调性,则需要分析导函数的正负性; ② 当一次求导后,发现导函数不太“友善”(不能转化为常见的“一次型导数”, “二次型导数”,“指数型导数”或其混合型等),则可考虑构造新函数进行二次求导. 【典题2】求函数的单调性. 【解析】 的定义域是, , 设, (导函数的正负性与一致,不能因式分解,函数较为复杂,要判断它的正负性,若能知道它的图象就好了,便想到二次求导) 则, (此时要分析的正负性,也不容易,则可再次求导分析单调性、最值得到它的图象从而分析正负性) 令,则, 当时,,在上单调递增; 当时,,在上单调递减; 在处有最大值,而,(注意到,的零点) 函数在上是单调递减, 当时,, 递增; 当时,, 递减; (注意到,事情就这么巧,分析出正负性了) 的单调增区间是递减区间是. 【点拨】 ① 本题的思路是 ② 本题中作了“次求导”;当导函数形式较为复杂,利用导数画出导函数的趋势图,数形结合便较容易得到它的正负性了,此时也要注意一些特殊点,比如. 【典题3】求的单调性. 【解析】, 令,(构造函数二次求导) 故, 当时,,故在上单调递增, (注意三角函数的有界性) (此时,分析正负性要确定导函数是否有零点,分和讨论.) ①当时,,即, 故在上单调递增; ②当时,,且, 故存在,使得, (这取点较难,而当,,也可知零点的存在) 当时,,单调递减; 当时,,单调递增. 综上所述,当时,在上单调递增; 当时,在上先减后增. 【点拨】本题是二次求导在处理含参函数单调性中的运用,在分析导函数正负性,要确定是否存在零点,有时要分类讨论. 1 (★★) 求函数的单调性. 【解析】 , 令,则 令,则, 在递增,,即, 在递增,,即, 在递增. 2 (★★) 求函数在区间的单调性. 【解析】 ① 当时,,单调递增; ② 当时,设 则,在内单调递减, 又, 在内存在唯一的,使得, 当时,,单调递增; 当时,,单调递减. 综上所述,在内先增后减. 3(★★★) 求函数在的单调性. 【解析】, 设, 则,在上递增,; ① 当时,,即,在区间上单调递增, ② 当时,,当时, 则存在使得, 当时,,即,递减; 当时,, 综上所述,当时,在递增;当时在上先减后增. 【题型三】 二次求导与不等式证明 【典题1】已知函数, 若,求的取值范围; 证明. 【解析】,, 题设等价于.(分离参数法) 令,则 当,;当时,, 是的最大值点,, 综上,的取值范围是. 方法1 要证, 只须证明时,;当时,即可 (即需要了解函数的图像) 由(1)可知, (该函数正负性有些难判断,想到可二次求导) 令,则, 显然当时,,当时,, 即在上为减