第17讲 均值不等式-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第17讲 均值不等式 方法总结： 1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量 ①求和的式子→乘积为定值 ②乘积的式子→和为定值 （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立 ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 2.常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知（为常数），求的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 典型例题： 例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知，（，），若，则的最小值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】 由，列方程化简变形可得，从而，然后利用基本不等式可得答案 【详解】 因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为16， 故答案为：16 例2．（2022·江西上饶·一模（文））已知a，b均为正数且满足，则，的最小值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】 巧用值的代换拼凑，展开利用基本不等式即求得最小值. 【详解】 因为， 故， 当且仅当时即时等号成立，故最小值为8. 故答案为：8. 例3．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】 利用基本不等式来求得最小值. 【详解】 由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y） ＝4＋5＋＋≥9＋2＝， 当且仅当＝，时取等号， 此时， 故的最小值为． 故答案为： 例4．（2022·湖南娄底·高三期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】 利用已知化简可得，根据基本不等式计算即可. 【详解】 由已知条件得，， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：6. 例5．（2022·浙江杭州·高三期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由基本不等式得出，再由得出最值. 【详解】 ，当且仅当时，取等号，即 ，当且仅当时，取等号. 故的最小值是 故答案为： 例6．（2022·全国·高三专题练习）设，则最小值为________ 【答案】4 【解析】 【分析】 将原式进行配凑变形得，结合基本不等式可求出代数式的最小值. 【详解】 原式 ， ，则，，， ，， 当且仅当，时，即时等号成立， 又，当时等号成立，所以原式，故最小值为4. 故答案为：4 例7．（2022·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为________ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】 由题意可知，，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果. 【详解】 因为，， 所以，， 所以． 当且仅当时，取得最小值． 故答案为：. 例8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，若，则的最小值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】 对已知条件进行因式分解，转化为一次因式的积，再由均值定理解决即可. 【详解】 ，． ，， 令，解得，，． 则， 当且仅当，即，时取等号． 的最小值为． 故答案为：． 例9．（2022·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】 因为正数，满足，所以，再根据基本不等式中“1”的用法，即可求出结果. 【详解】 正数，满足，． ． 当且仅当，即时取等号，此时结合， 得 ，可知的最小值为． 故答案为：． 过关练习： 1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若，，，则的最小值等于（       ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由，且， 所以， 又由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值等于. 故选：D. 2．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）若两圆（）和（）恰有三条公切线，则的最小值为（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求出两圆得圆心与半径，再根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，从而可求得，再根据，利