第16讲 平面向量范围与最值问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第16讲 平面向量范围与最值问题 方法总结： 1.探求向量范围与最值问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换等方法解决. 2.探求向量范围与最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转化为对称问题来处理. 典型例题： 例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______ 【答案】 【解析】 【分析】 方法一：记，，，由条件可得，由此确定点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，设圆的半径为，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O为原点，OA，OB为x，y轴建立坐标系，求点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，由求点E的坐标，由此可求. 【详解】 解：记，，， 则， 即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）． 下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面， 所以． 下面求当最大时，的值． 记圆的半径为，则． 所以只需求出圆的半径为即可． 法一：如右图，为弦的中点， 在中，由余弦定理求得， ，则． 在中，，，，， 由余弦定理得，． 即． 法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上． 以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大． 圆心在弦的中垂线上，设， 则， 即， 化简得，即或（舍去）， 此时，得． 故答案为：. 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________. 【答案】60 【解析】 【分析】 如图所示，设先证明四点共圆，求出，再利用余弦定理和重要不等式求解. 【详解】 如图所示，设 所以，, 因为向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为， 所以 所以， 所以四点共圆. 在△中，由正弦定理得 所以因为. 在△中，由余弦定理得， 所以. 所以的最大值为60. 故答案为：60 例3．（2022·全国·高三专题练习）锐角中，角，，所对边的长分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为_______________________. 【答案】 【解析】 【分析】 先通过正弦定理角化边得3边关系，代入余弦定理求得角余弦值的最小值，进而可得角正切值的最大值，再利用三角形面积公式及向量数量积可得目标式的最大值. 【详解】 解：中， 所以， ， 当且仅当时等号成立，此时最小，最大. 此时 故答案为：. 例4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，是平面内的两个非零向量，则当取最大值时，与夹角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】 根据，结合平面向量数量积的运算性质推出，再根据题意以及等号成立条件，即可求解. 【详解】 ∵向量，是平面内的两个非零向量， ∴，当且仅当时取等号， ∴，即， ∴，即，当且仅当时取等号，即，则与夹角为， ∴当取最大值时，与夹角为. 故答案为：. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求得、，进而平方，计算即得结论． 【详解】 设向量的夹角为， ， ， 则， 令， 则， 据此可得：， 即的最大值是 故答案为：. 例6．（2022·全国·高三专题练习）已知在中.，平面内有动点满足，则数量积的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意建立恰当的坐标系，求出的轨迹方程，即可求解. 【详解】 如图，根据已知条件建立恰当的坐标系，各点坐标分别为：， 设动点，则由得， 化简得出满足，令. 则， 所以的最大值为. 故答案为：16. 例7．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）已知平面向量，，满足，，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 已知展开联立方程组，解得，利用将两者建立起关系，解不等式得的范围﹒ 【详解】 ∵，∴． ∵，∴， ∴，且 ∵， 解得，∴，即的最小值为， 故答案为：﹒ 例8．（2022·浙江·高三开学考试）已知非零平面向量，夹角为，且，若，则的最小值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量线性运算的几何意义可求诸模之和的最小值. 【详解】 如图，设，，，， 则，且， 要求的最小值即求的最小值. 作出关于的对称点，再作出关于的对称点， 连接，设与射线交于，连接，与射线交于， 则，且， 设，则，而，故， 所以. 则， 当且仅当重合，重合时等号成立， 故答案为：. 【点睛】 思路点睛：向量的模的最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转化为对称问题来处理. 例9．（2022·浙江湖