第15讲 解三角形中的范围与最值问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第15讲 解三角形中的范围与最值问题 方法总结： 1.解三角形中处理范围与最值问题的几种方法 （1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域 （2）利用均值不等式求得最值 典型例题： 例1．（2022·海南·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)若的面积，求ab的最小值. 【答案】(1)； (2)48. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理及三角形内角的性质可得，即可得C的大小； （2）根据三角形面积公式、余弦定理，结合基本不等式即可求ab的最小值，注意等号成立条件. (1) 由已知及正弦定理得：，又， 所以，即且， 所以. (2) 由题意知：，即， 由余弦定理知：，即，因此，当且仅当时取等号， 所以ab的最小值为48. 例2．（2022·重庆·模拟预测）在中，角的对边分别为的面积为1. (1)若，边上的高分别为，求； (2)当取最小值时，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）由已知及余弦定理、三角形内角的性质可得，根据三角形的面积公式有、即可求. （2）由三角形面积公式可得根据基本不等式可得求的范围并确定等号成立条件，进而可得a、b、c，即可知的周长. (1) 则，且， ∴， 的面积为1， 可得， 又则， . (2) 则 ，当时等号成立且，即， 代入得：即故， ∴则 ∴周长为. 例3．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求a的最小值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)化成含 的一元二次方程求解； (2)利用余弦定理和基本不等式求最小值. (1) 因为，所以， 所以，或（舍去）． 又为锐角三角形，所以． (2) 因为， 当且仅当时，等号成立，所以．故a的最小值为. 例4．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（理））在中，角、、所对的边分别为、、，向量，向量，且． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）由向量共线的坐标表示得到，利用正弦定理和余弦定理可得答案； （2）由利用基本不等式可得的范围，再由面积公式可得答案. (1) ∵，∴， 由正弦定理得 即， 由余弦定理得 ∴，∴． (2) ∵，， ∴，当且仅当等号成立， ∴， ∴面积的最大值为． 例5．（2022·安徽亳州·高三期末（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角C； (2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理得到，从而得到；（2）利用正弦定理得到，根据余弦定理和基本不等式求出，进而求出面积的最大值. (1) 因为，所以，由正弦定理得：，因为，所以，故，，因为，所以 (2) 根据正弦定理得：，解得：， 根据余弦定理得：，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当时等号成立，此时，所以面积的最大值为 例6．（2022·辽宁·大连市一0三中学高三开学考试）设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，． (1)求角A的大小； (2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分． ①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值． ②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)①；②. 【解析】 【分析】 （1）利用正余弦定理即求； （2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求. (1) ∵且, ∴，即， ∴，又， ∴； (2) 选①∵AD平分∠BAC， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 由基本不等式可得： ， ∴，当且仅当时取“=”， ∴， 即的面积的最小值为； ②因为AD是BC边上的中线， 在中由余弦定理得， 在中由余弦定理得， ∵， ∴， 在中，，由余弦定理得， ∴ ∴， 解得，当且仅当时取“=”， 所以， 即的面积的最大值为. 过关练习： 1．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理与基本不等式求得的最大值，再通过三角形的形状，即可求得此时对应的. 【详解】 由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2． 又cos C＝＝≥＝. 当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cos C取到最小值，从而角C取到最大值. 当b＝a时，3a