第14讲 解三角形-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第14讲 解三角形 方法总结： 1.解三角形的常用方法： （1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解 （2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 2.三角形的中线定理与角平分线定理 （1）三角形中线定理：设为的一条中线，则 （2）角平分线定理：设为中的角平分线，则 3.三角形面积公式： （1） （为三角形的底，为对应的高） （2） （3） （为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径） （4）海伦公式： （5）向量方法： （其中为边所构成的向量，方向任意） 典型例题： 例1．（2022·福建福州·高三期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)试判断的形状，并说明理由； (2)设点D在边AC上，若，，求的值. 【答案】(1)为等腰三角形或直角三角形； (2). 【解析】 【分析】 （1）将已知条件利用正弦定理边化角，然后再利用三角恒等变换化简变形即可判断三角形的形状； （2）由已知条件结合正弦定理可得，从而根据（1）中结论分两种情况分别求解即可得答案. (1) 解：由已知条件，利用正弦定理可得， 即， 所以， 由于、B、， 所以或， 所以或B=C， 所以为等腰三角形或直角三角形； (2) 解：在中，由正弦定理得，即， 同理在中，有， 所以， 又，所以，即， 所以， 由（1）可知或， 若，则， 所以, 因为，，所以， 又，所以，所以，即BD平分， 所以，即，所以，解得或（舍去）， 所以； 若，则为直角三角形，BD为斜边，则，与题设矛盾，故舍去； 综上，的值为. 例2．（2022·福建漳州·一模）设的内角A，B，C所对的边分别为，，，. (1)求C； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据条件化简后由余弦定理可求； （2）由正弦定理及可得，利用面积公式求解即可. (1) 由 得， 即， 所以 因为 所以 (2) 由正弦定理得， 所以， 即 ， ， 所以， 故△ABC的面积为. 例3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，将的图象向右平移单位后，得到的图象，且的图象关于对称． (1)求； (2)若的角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且，若点D为边靠近B的三等分点，试求的长度． 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简，根据三角函数图象的变换求得，再根据其对称中心，即可求得参数； （2）根据（1）中所求，求得，再利用余弦定理求得，再在△中，利用余弦定理，即可求得. (1) 因为 ． 又将的图象向右平移单位后，得到的图象 则，又其一个对称中点为， 故将代入，则，解得， 故当时，满足题意，∴. (2) 由（1）可知，又，则或， 则或，即或， 又，故可得，又， 故在△中，由余弦定理可得， 则，又为边上靠近点的三等分点，故； 又， 在中，由余弦定理可得：, 故可得即为所求. 例4．（2022·云南昭通·高三期末（理））在中，内角的对边分别为. 在①；②；③，且. 这三个条件中任意选一个填在下面的横线上，并完成试题（如果多选，以选①评分）. (1)若___________，求角C； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）选择①，根据正玄定理，将已知条件进行“角化边”，结合余弦定理，即可求得角C；选择②，根据余弦二倍角公式化简已知条件，即可求得角C；选择③，由和，化简已知条件，即可求得角C； （2）根据正弦定理和，结合已知条件，即可求得答案. (1) 解：（1）选择① 由正弦定理得， 化简得， 选择② 即 或（舍去） 选择③ ， 即 . (2) 由（1）可知 又 由正弦定理得， 的面积. 故的面积为. 例5．（2022·江苏镇江·高三期末）已知在△ABC中，D为边BC上一点，，，． (1)求AD的长； (2)求sinB． 【答案】(1)2； (2). 【解析】 【分析】 (1)在中，利用余弦定理建立方程求解即可； (2)利用(1)的结论求出，再在中由正弦定理计算可求． (1) 依题意，在中，由余弦定理得， 即，解得； (2) 在中，由(1)知，由余弦定理可得， 则有， 在中，由正弦定理得． ． 例6．（2022·福建三明·高三期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，求△ABC的面积． 【答案】 【解析】 【分析】 由正弦定理的边角互化得出，再由余弦定理得出，，最后由公式得出面积. 【详解】 解：因为），由正弦定理得：，即 即，又因为A为内角，，所以 因为，所以． 根据余弦定理及，，，得，即，即，． 所以△ABC的面积 例7．（2022·天津市红桥区教师发展中心高三期末）在的内角，，所对边的长分别是