第13讲 三角函数的性质与变换-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第13讲 三角函数的性质与变换 方法总结： 1.常见三角函数的值域类型： （1）形如的值域：使用换元法，设，根据的范围确定的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域 （2）形如的形式，即与的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可 （3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理 2.正弦函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴（最值点）： （5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数 （6）单调增区间：；单调减区间： 3.余弦函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数 （5）对称中心（零点）： （6）单调增区间： ； 单调减区间： 4.正切函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称中心： （5）零点： （6）单调增区间： 5.的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下： （1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。 6.函数图像的平移变换： （1）：的图像向左平移个单位 （2）：的图像向右平移个单位 （3）：的图像向上平移个单位 （4）：的图像向下平移个单位 7.函数图像的放缩变换： （1）：的图像横坐标变为原来的 （2）：的图像纵坐标变为原来的倍 典型例题： 例1．（2022·广东五华·一模）已知函数． (1)若且，求的值； (2)记函数在上的最大值为b，且函数在上单调递增，求实数a的最小值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)化简f(x)解析式，根据求值即可； (2)求出f(x)的最大值b，求出f(x)的单调递增区间，求出与已知区间对应的增区间A，则是区间A的子集. (1) ， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴； (2) 当时，，，∴， 由，， 得，， 又∵函数在上单调递增， ∴，∴， ∴，∴实数a的最小值是. 例2．（2022·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A，B，C成等差数列，． (1)求； (2)求函数的值域． 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）由题可得，然后利用正弦定理可得，再利用三角恒等变换及同角关系式即求； （2）利用两角和的正弦公式可化简函数得，，然后利用正弦函数的性质即得. (1) 由A，B，C成等差数列得 所以，． 由正弦定理及已知得， 所以． 移项，两边平方得 ， 化简整理得 ． 解得或． 又因为， 所以． (2) 由（1）可知， 所以，， 所以 ， ∵，∴， ∴ 故的值域为． 例3．（2022·浙江·高三期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)已知，若函数在区间[0，]上恰好有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）由辅助角公式化简解析式，再由正弦函数的性质得出函数f（x）的单调递增区间； （2）令，由函数与只有两个交点，结合图象得出a的取值范围. (1) 由可得， 即函数的单调递增区间为 (2) ，，令 函数在区间[0，]上恰好有两个零点 函数与只有两个交点 由图象可知， 例4．（2022·湖南永州·二模）已知函数的部分图象如图所示. (1)求； (2)将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）由图象可得、，则可得，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求得函数的解析式； （2）先利用三角函数图象变换规律求出，再由的范围得的范围，可得答案. (1) 由最大值可确定，因为，所以， 此时，代入最高点，可得：， 从而，结合，于是当时，， 所以. (2) 由题意，， 当时，，则有， 所以在区间上的值域为. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中常数. (1)令，将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求函数的表达式. (2)求出（1）中的对称中心和对称轴. (3)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2)对称轴：，对称中心： (3) 【解析】 【分析】 （1）由函数图象变换结论求得函数的解析式； （2）利用整体代入法求对称轴和对称中心； （3）求条件可得，由此可求的取值范围. (1) ，即. (2) .即对称轴为又.即对称中心为： (3) 当时， ， 解得. 又 即的取值范围为. 例6．（2022·