第12讲 求未知角的三角函数值-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第12讲 求未知角的三角函数值 方法总结： 1.解决此类问题的方法步骤： （1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 （2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 （3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 （4）将结果整体代入到运算式即可 2.确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。确定角的范围有以下几个层次： （1）通过不等式的性质解出该角的范围 （2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限 （3）利用特殊角将该角圈在一个区间内 （4）通过题目中隐含条件判断角的范围 典型例题： 例1．（2022·广东韶关·一模）若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出，利用两角差的正切公式即可求出. 【详解】 因为，所以，所以，所以. 故答案为： 例2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 由诱导公式得，进而根据半角公式求解即可. 【详解】 解：因为，所以， 所以． 故答案为： 例3．（2022·山西太原·高三期末（文））已知为锐角，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】 求出，则. 【详解】 , ，， . 故答案为：. 例4．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴交于点． (1)求函数的最小正周期及，的值； (2)已知，，求的值， 【答案】(1)最小正周期， ， (2) 【解析】 【分析】 （1）由周期公式可求得最小正周期,根据函数的最大值点可求得，将代入解析式，可求得A. （2）根据角结合已知可求得，再利用两角差的正弦公式即可求得答案. (1) 的最小正周期， ∵为最大值，则，， 而，故取， ∵函数图象过，∴， (2) ， ∵，∴，∴，∴， ∴. 例5．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知函数. (1)求的单调递增区间及值域； (2)若，，求的值. 【答案】(1)单调递增区间为，，的值域为 (2) 【解析】 【分析】 （1）利用降幂公式、二倍角的正弦公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质即可得出答案； （2）根据，可得，再根据，结合平方关系求得，再根据利用两角差的正弦公式即可得解. (1) 解：∵ ∴由，，即，， 所以的单调递增区间为，， 且的值域为； (2) 解：∵，∴， ∵，则， 又因为，所以，所以， 则 . 过关练习： 1．（2022·陕西榆林·一模（理））已知，则（       ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式将化简，可得的值，再利用两角和的正切公式求得答案. 【详解】 由题意,        可得，则， 故, 故选：B 2．（2022·四川·模拟预测（理））已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 应该对已知条件展开，考虑条件和结果之间的内部关系，使用2倍角公式即可. 【详解】 ， 则，即，所以, 故选：B. 3．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用二倍角公式，化简为，即可求解. 【详解】 ， ，， 当时，， 解得：（舍）或. 故选：D 4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，且，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件结合正切的和角公式求得，结合同角三角函数关系，求得，再利用正弦和余弦的倍角公式，代值计算即可. 【详解】 因为，故可得，解得， 因为， 又，故可得， 又. 故选：C. 5．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则角可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先判定角终边所在象限，再通过角的三角函数值确定角. 【详解】 则 又，则角终边在第二象限 则角可以是 故选：D 6．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））已知sin，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 三角函数的恒等变换要注意条件与结果之间的关系，由此而产生解题思路. 【详解】 ∵， ； ∴， ， ∴=； 故选：D. 7．（2022·福建漳州·一模）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正余弦的二倍角公式对已知式子化简可求得答案 【详解】 由，得 ， 所以， 故选：C 8．（2022·江西九江·一模（文））已知，