第18讲 多变量范围与最值问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第18讲 多变量范围与最值问题 方法总结： 1.消元法： （1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点： ① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂） ② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。 （2）换元：常见的换元有两种： ①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围 ②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题. 2.放缩法 （1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元 （2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果 （3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果 （4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。 3.数形结合 典型例题： 例1．设，则的最小值为　　 A．2 B．4 C． D． 【解答】解：由，可得， 则 ． 当且仅当时取等号． 因此的最小值为． 故选：． 例2．设，则的最小值是　　 A．2 B．4 C． D．5 【解答】解： 当且仅当，，时等号成立 如取，，满足条件． 故选：． 例3．已知正数、、满足，则的最小值为　　 A．3 B． C．4 D． 【解答】解：由题意可得，， ， 当且仅当即时取等号， 又，， 当且仅当时取等号，， ，， ， 当且仅当且时取等号， 的最小值为4 故选：． 例4．设，，，且，则的最大值是　　 A．13 B．12 C．11 D．10 【解答】解：，，，且， ，即， 那么令函数， 令， 则， 当在，时，，在，上是单调递减； 当在，时，，在，上是单调递增； （2）； 同理：令， 则， 当在，时，，在，上是单调递减； 当在，时，，在，上是单调递增； （2）． 故当，，时，函数取得最大值， 即． 故选：． 例5．已知，，，且，，则的最大值为　　 A． B． C．3 D．4 【解答】解：， 当且仅当时取等号 ， ，可得， 则 当时， 取得最大值， 的最大值为 故选：． 例6．已知、、是平面上任意三点，，，，则的最小值是　　． 【解答】解：依题意，得，于是 其中，等号当且仅当且，即，时成立． 所以，所求最小值为 故答案为： 例7．设实数、、满足，则的最小值为　　． 【解答】解：法1：令，，其中：，，． 则 ，当且仅当取等号． 的最小值为． 故答案为：．． 法实数，，满足， ，当，时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 例8．设实数、、满足，，，且，，则　12　 【解答】解：由，，，且，可得，，． ，，， 又， 可得， ，，， 则或1，或1，或1． 由对称思想，不妨，则，． ． 故答案为：12． 例9．已知实数，，满足，则的最小值是　　． 【解答】解：实数，，满足， ，当，时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 例10．设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为 　4　． 【解答】解：由， 得 当且仅，即时等号成立，则， 则， 当且仅当，，时取等号， 故的最大值为4． 故答案为：4． 过关练习： 1．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知正实数x，y，z，ω满足，且，则的最小值是（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用，将化为，再利用a,b等值代换，最后利用基本不等式可得答案. 【详解】 因为，所以， 令，， 则，且，所以. 因为， 当且仅当，，即时取等号. 故选：B. 2．（2022·浙江·高三学业考试）若对任意恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 将不等式转化为，根据在上单调递增，可得，参变分离后令，可转化为在上恒成立，利用基本不等式求解的最大值，即可得的取值范围. 【详解】 由，可得，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，令，则，当且仅当，即时，取等号，所以. 故选：A 3．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，若对任意满足条件的正实数，都有不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据基本不等式可得，令，将问题转化为的最小值，再用基本不