课时分层作业 7 等比数列的性质-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(七)　等比数列的性质 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　　) A. B. C. D．π C　[由题意可知a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝，故选C.] 2．已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于(　　) A. B. C. D. D　[由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝，故选D.] 3．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是(　　) A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列 B　[由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋， ∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.] 4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 A　[由题意可知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前4项依次为－3，－6，－12，－24，故选A.] 5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　) A．4 B．6 C．7 D．5 D　[∵{an}为等比数列， ∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列， ∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50， 又{an}各项为正，故a4a5a6＝5.] 二、填空题 6．在等比数列{an}中，若a2，a8是方程x2－3x＋6＝0的两个根，则a4a6＝________. 6　[由题知a2·a8＝6，根据等比数列的性质，a4·a6＝a2a8＝6.] 7．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________. 1　[设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4. ∴q4＝，q2＝， ∴a3＝a1q2＝2×＝1.] 8．等差数列{an}的公差d≠0，a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，则d＝________. －2　[由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝a， 即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2， 化简得2a1d＋20d2＝0， 由a1＝20，d≠0，得d＝－2.] 三、解答题 9．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an. [解]　法一：因为a1a3＝a， a1a2a3＝a＝8，所以a2＝2. 从而 解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1. 当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝. 故an＝2n－1或an＝23－n. 法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2. 代入已知，得 即 即 将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝. 由②得或 故an＝2n－1或an＝23－n. 10．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数． [解]　由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则 a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2， 这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)， 解得d＝6或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)， 解得d＝－6或d＝0(舍去)． 此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项， 则22＝(2＋d)(2－d)，∴d＝0(舍去)． 综上可求得此三数为－4,2,8或8,2，－4. 11．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 D　[由已知，a4－2a＋3a8＝0， 即4a7－2a＝0， 又各项不为0，a7＝2， 所以b7＝2，则b2b8b11＝b＝8.] 12．(多选题)在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝(　　) A. B．1 C. D．2 AC　[因为a7a11＝a4a14＝6， 又a4＋a14＝5， 所以或所以＝q10＝， 所以＝或＝.] 13．(一题两空)等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a10a11a12a13＝________，a8a15＝________. 4　2　[∵T13＝4T9， ∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9. ∴a10a11a12a13＝4. 又∵a10