5.3.1 第2课时 等比数列的性质-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

第2课时　等比数列的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解等比中项的概念．(易错点) 2.掌握等比数列的性质及其应用．(重点) 3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点) 1.通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理的素养. 2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升数学运算素养. 在等差数列{an}中，通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. 问题：在等比数列中有无类似的性质？ 1．等比中项 定义 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项 关系式 G2＝xy 结论 在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的等比中项 思考：G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？ [提示]　不是．若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立． 2．等比数列的性质 在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq. (1)特别地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝a. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 拓展：(1)“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk. (2)两个等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意两个实数都有等比中项． (　　) (2)在等比数列{an}中，a2·a8＝a10. (　　) (3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列． (　　) (4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　) A．± B．－ C. D．± C　[在等比数列中，a＝a1·a5，所以a5＝＝.] 3．(教材P34练习AT3改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 C　[∵{an}是等比数列， ∴a2·a6＝a＝16.] 4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝________. 25　[∵{an}是等比数列， ∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12， ∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25.] 等比中项的应用 【例1】　(1)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 (2)在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________. (1)B　(2)　[(1)因为b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同号． 所以ac＝b2＝9. (2)由题意知a3是a1和a9的等比中项， ∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d， ∴＝＝.] 由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝ab⇒G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列⇔G2＝abab≠0. 1．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． [解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1， ∵ ∴ ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)． 上述两式相除，得q(1－q)＝⇒q＝. ∴a1＝＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10 ＝962·10＝9. ∴a5，a7的等比中项是±3. 等比数列性质的应用 【例2】　(1)已知数列{an}为等比数列．若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5＝________. (2)在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________． (1)6　(2)64　[(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a＋2a3a5＋a＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a