5.3.1 第1课时 等比数列的定义-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

5．3　等比数列 5．3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解等比数列的定义．(重点) 2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点) 3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 1.通过等比数列概念的学习，培养数学抽象的素养. 2.借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养数学运算的素养. 有人说过：你如果能将一张纸对折42次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．(假设纸的厚度为0.1 mm) 这个实例所包含的数学问题，用数字反应如下： 1,2,4,8,16,32,64,128，… 问题：该组数字的后一项与前一项存在怎样的等量关系？是什么数列？ 1．等比数列的概念 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比． 思考1：在等比数列{an}中，某一项可以为0吗？ [提示]　一定不能为0. 拓展：对等比数列的定义的理解 (1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项． (2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比． 2．等比数列的通项公式及其推广 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式an＝a1qn－1，该式可推广为an＝amqn－m，其中n，m∈N*. 思考2：等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？ [提示]　不一定．如当q＝1时，an是关于n的常数函数． 3．等比数列的单调性 等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列为递增数列； (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列为递减数列； (3)当q＝1时，数列为常数列； (4)当q<0时，数列为摆动数列． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若an＋1＝qan，n∈N*且q≠0，则{an}是等比数列． (　　) (2)等比数列{an}中，an＝a1qn，n∈N*. (　　) (3)常数列一定是等比数列． (　　) (4)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　) A．an＝2·3n＋1 B．an＝3·2n＋1 C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1 C　[由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.] 3．下列数列为等比数列的是(　　) A．2,22,3×22，… B.，，，… C．S－1，(S－1)2，(S－1)3，… D．0,0,0，… B　[结合等比数列的定义可知选项B正确．] 4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________. 　[法一：∵a2＝a1q＝2， ① a5＝a1q4＝， ② ∴②÷①得：q3＝，∴q＝. 法二：∵a5＝a2q3，∴q3＝⇒q＝.] 等比数列基本量的求解 【例1】　在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n； (3)a3＝2，a2＋a4＝，求an. [解]　(1)法一：∵ ∴ 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝2. 法二：∵a7＝a4q3，∴q3＝＝＝4， ∴q＝. ∴an＝a4qn－4＝2×4＝2×2＝2. (2)法一：∵　 由得q＝，从而a1＝32，又an＝1， ∴32×＝1，即26－n＝20， ∴n＝6. 法二：∵a3＋a6＝q(a2＋a5)， ∴q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. (3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0. a2＝＝，a4＝a3q＝2q， ∴＋2q＝，解得q1＝，q2＝3. 当q＝时，a1＝18，∴an＝18×＝2×33－n. 当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3. 综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3. a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q. 1．(1)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n. (2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an. [解]　(1)由an＝a1·qn－1，得＝， 即，得n＝4. (2)因为 由得q＝或q＝2. 当q＝时，a1＝－16；当q＝2时，a1＝1.