第10讲 不等式的恒成立与有解问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第10讲 不等式的恒成立与有解问题 方法总结： 1.对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2.最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作： ① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围，观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 3.参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式） （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 ③，则只需要 ，则只需要 ④，则只需要 ，则只需要 4.多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理 （1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。 （2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。 典型例题： 例1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分． ①若对任意，不等式恒成立，求的最小整数值； ②若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)① 1；②. 【解析】 【分析】 (1)求函数的定义域并求出导数，解不等式和即可作答. (2)选①，由给定不等式分离参数并构造函数，探求函数的最大值即可得解； 选②，由给定不等式变形，构造函数，借助导数分类讨论有解即可. (1) 的定义域为，，令，得， 由，解得，由，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 选择①： 当时，恒成立，即恒成立，令，，则， 令，则，即函数单调递减， 而，，则在区间上存在一个零点， 使得，即， 当时，，则，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减， 于是得有最大值，， 依题意有，又， 所以的最小整数值是1． 选择②： 不等式，即，设，依题意，存在，， 而，， 当时，在上恒成立，不满足题意， 当时，方程的判别式， 即在上恒成立，则在上单调递增，，在上恒成立，不满足题意， 当时，令，得，， 由和得，则当时，，在上单调递减，此时， 因此，当时，存在，使得不等式成立， 所以满足题意的的取值范围为． 【点睛】 关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键. 例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，其中e是自然对数的底数. (1)当a=e时，求f(x)的最小值； (2)讨论的零点个数； (3)若存在x∈（0，+∞），使得成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【解析】 【分析】 （1）利用导函数即求； （2）由可得，分类讨论，利用导函数求函数最值，结合零点存在定理即得； （3）由题可得在上有解，利用函数的导数求函数最小值即得. (1) 当a=e时，， ∴，令，得， ∴当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， ∴. (2) ∵， 令得，， 当时，，无零点， 当时，令，则， 令，得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， ∴， 当，即时，，函数在上无零点， 当，即时，，函数在上有唯一零点， 当，即时，，又， ∴函数在，上各有一个零点， 综上，当时，函数在上无零点，当时，函数在上有唯一零点，当时，函数在上有两个零点. (3) 由得，， ∴，即， 令，则在上有解， 令，当时，，不合题意； 当时，则 ，令得，当时，单调递减，当时，单调递增， ∴， ∴，即， ∴即a的取值范围为. 例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. (1)当时，判断函数的单调性； (2)证明：当时，不等式恒成立. 【答案】(1)在递增 (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）先求导数，通过构造函数，求导，判断的符号，从而可得答案； （2）先根