第9讲 函数与数列不等式的证明-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第9讲 函数与数列不等式的证明 方法总结： 1.关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种： （1）倒序相加 （2）错位相减 （3）等比数列求和公式 （4）裂项相消 2.大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。 3.在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向 4.放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等） 5.数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明 典型例题： 例1．（2022·全国·高三专题练习）已知. (1)求函数的单调区间； (2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值； (3)证明不等式：. 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)0. (3)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求导函数，分析导函数的符号，可得原函数的单调性； （2）求得函数的解析式，并对求导函数，分析其导函数的符号，得出函数的单调性和最值，从而求得答案； （3）由（2）得在上恒成立，令，则有 ，运用累加法可得证. (1) 解：，， 由得， 当时，. 函数的单调增区间为，单调减区间为. (2) 解：函数， ， ，令，得. 时，，时，， 在递减，在递增，， 关于的方程有解，则实数的最小值为0. (3) 证明：由（2）得在上恒成立， 令，则有 ， ，，，， ， ， . 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，为常数）. (1)若方程在区间上有解，求实数的取值范围； (2)当时，证明不等式在，上恒成立； (3)证明，.（参考数据：） 【答案】(1). (2)证明见解析. (3)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）将原方程化为.分离参数得.令.求导函数，分析导函数的符号得所令函数的单调性和值域，从而求得答案； （2）将不等式转化为.令.运用导函数求出的最小值，即可得证；不等式化为.令，运用导函数求出最大值，从而不等式可得证； （3）由已知得，由（2）得，，即，由此可得证. (1) 解：，， 方程可化为.即. 令.则. 由得，，或（舍去）. 当时，.单调递增. 当时，.单调递减. ，（1），. ，时，. 方程在区间，上有解等价于. (2) 解：时，要证不等式， 只需证，即. 令.则， 所以，时，单调递增. （4）. 当，时，恒成立. 要证，只需证，即. 令.， 所以，时，单调递减.（4）. 当，时，恒成立. 当时，证明不等式在，上恒成立. (3) 解：， ， 由（2）可知，，， 即， ， ， . 例3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，. (1)若函数在定义域内单调递减，求的取值范围； (2)设，证明：（为自然对数的底数）. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由于在内单调递减，则对恒成立，求出的导数，再根据分离参数法，即可求出结果； （2）取，由第（1）问可知在为单调递减函数，可知，即对成立，令，则有，根据不等式放缩和裂项相消法即可求证结果. (1) 解：函数的定义域为， 且， 则， 由于在内单调递减，则对恒成立， 即对恒成立， 从而，则， 故的取值范围为 (2) 证明：取，由第（1）问可知在为单调递减函数， 从而； 则对成立， 令， 有； 从而 ， 故. 例4．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求证： ①； ②. 【答案】(1)， (2) (3)①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】 （1）设出二次函数，求导可得与，进而求得，再利用退一相减法可求得与，再利用退一相减法求得； （2）由（1）求出，再利用分组求和与错位相减可得； （3）①构造函数，利用导数判断单调性，求最值即可得证；②根据①构造，再变形、赋值、放缩得：，代入化简后，再进一步放缩，利裂项相消法求和即可. (1) 设二次函数，， ，则， 在上， 当时， 又时符合， ， 则， 由得， ①， 令代入上式得， ②， ①②得，，即， 又不满足上式， ； (2) 由（1）得，， ③， ④， ③④得， ， 则， (3) ①设，则， 在上是增函数， ，即， 故； ②， 当，时，令代入上式得： ，即， 令代入上式得，，， 则 ， 故结论成立. 例5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数. (1)当时： ①解关于的不等式； ②证明：； (2)若函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【解