第8讲 一元和多元不等式的证明-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第8讲 一元和多元不等式的证明 方法总结： 1.证明一元不等式主要的方法有三个： 第一个方法是将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性 第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式。但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明。所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法。 第三个方法是适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； 2.证明多元不等式通常的方法有三个 （1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式 （3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。 典型例题： 例1．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数． (1)若，求的单调区间； (2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 ； (2)；证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求得，结合恒成立，通过的正负即可判断的单调性从而求得其单调区间； （2）根据有三个实数根，对参数分类讨论，即可求得其取值范围，以及的范围；根据题意，结合 >的应用，即可证明. (1) 当时，，， 令，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故，即； 故当时，，单调递增；当时，，单调递减. 则的单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 因为，又有3个极值点，故有两个不等实根，且都不为1， 令，则，当时，，单调递增， 则至多一个实根，不满足题意； 当时，令，解得，此时单调递增； 令，解得，此时单调递减， 故要满足题意，，解得； 此时，故在有一个根； 又，令， 则，则当时，，则单调递增， 故，即，则在有一个根； 综上所述，当时，有三个实根，且. 由，可得，故； 下证 >， 可变形为，令，则只需证， 则，故在单调递增，故， 则 >成立；所以， 也即，故. 【点睛】 本题考察利用导数研究函数的单调性，以及极值点偏移问题，其中第二问的处理关键是利用不等式 >合理转化目标式，属综合困难题. 例2．（2022·全国·高三专题练习（理））设a为实数，函数f(x)＝－2x＋2a，x∈R． (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，－2ax＋1． 【答案】(1)f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，极小值f(ln2)＝2－2ln2＋2a，无极大值； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据f(x)导数的正负判断其单调性并求其最值即可； (2)构造函数g(x)＝＋2ax－1(x＞0)，利用导数和第一问结论可求其最小值，并判断其最小值大于0即可. (1) 由f(x)＝－2x＋2a(x∈R)知＝－2． 令＝0，得x＝ln2． 当x＜ln2时，＜0，故函数f(x)在区间(－∞，ln2)上单调递减； 当x＞ln2时，＞0，故函数f(x)在区间(ln2，＋∞)上单调递增． ∴f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)， f(x)极小值为f(ln2)＝－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a，无极大值； (2) 要证当a＞ln2－1且x＞0时，－2ax＋1， 即证当a＞ln2－1且x＞0时，＋2ax－1＞0． 设g(x)＝＋2ax－1(x＞0)． 则＝－2x＋2a， 由(1)知＝2－2ln2＋2a． 又a＞ln2－1，则＞0． 于是对∀x∈R，都有＞0， ∴g(x)在R上单调递增． 于是对∀x＞0，都有g(x)＞g(0)＝0． 即＋2ax－1＞0， 故－2ax＋1． 例3．（2022·云南昭通·高三期末（理））已知函数. (1)设是的极值点，求的单调区间； (2)当时，求证：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由得，在上单调递增，且可得答案； （2）由可得，令，由特殊值可得，使得，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，再利用在区间上单调递增得，可得答案. (1) 的定义域为， 是的极值点， ， 即， 在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，且， 的单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 由可得， 所以， 令，则， 在上单调递增，且. ，使得，有，① 且在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 由①得，即有， ， 又在区间上单