第7讲 极值与最值问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第7讲 极值与最值问题 方法总结： 1.求极值点的步骤： （1）筛选： 令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点） （2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点 （3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点 2.在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。 3.对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。 4.极值点与函数奇偶性的联系： （1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点 （2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点 5.利用导数求函数的最值步骤: 一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求在内的极值； （2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值 6.求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础 7.最值点的作用 （1）关系到函数的值域 （2）由最值可构造恒成立的不等式 典型例题： 例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)求的最小值； (2)求证：； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【解析】 【分析】 （1）求出原函数的定义域，再求出原函数的导函数，由导函数大于0求得原函数的增区间，由导函数小于0求得原函数的减区间，从而得到函数的最小值； （2）由（1）求得函数的最小值，再由导数求得函数的最大值，则结论得证； （3）由分离变量，利用导数可得，则．设．求导求其最小值，则的最小值可求． (1) 解：的定义域是， ， 令，解得：， 令，解得：， 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值是； (2) 证明：，， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 由（1）， 故； (3) 解：，即． ， 令，， 若，则，为增函数，无最大值； 若，由，得，由，得， 在上为增函数，在上为减函数， ． ， ． 设． 则， 由，得；由，得． ． 的最小值为. 【点睛】 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 例2．（2022·全国·高三专题练习）设函数． (1)若曲线在点，（2）处的切线斜率为0，求； (2)若在处取得极小值，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求证：没有最小值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据导数几何意义列方程即可解决； （2）按照参数a分类讨论函数的单调性，进而找到合适的参数a，使得函数在处取得极小值； （3）证明函数在实数集R上没有最小值，可以通过证明函数在单调递增区间上有比极小值小的函数值来实现. (1) ， ， 曲线在点处的切线斜率为0， 可得， 解得； (2) ， 若， 则时，，递增；时，，递减． 故在处取得极大值，不符题意； 若，则，递增，无极值，不符题意； 若，则， 当或时，；当时，， 故在，递减；在，递增， 可得在处取得极小值，符合题意； 若，则，同理可得在递减；在，，递增， 可得在处取得极大值，不符题意； 若，则，在，递增；在，递减， 可得在处取得极大值，不符题意； 综上可得，的范围是． (3) 证明：由（2）得：时，， 在递增、在，递减、在递增， 极小值， 由，可知时, 即在增区间上，有函数值比函数极小值小， 故没有最小值. 例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)． (1)讨论f(x)极值点的个数； (2)若x0是f(x)的一个极小值点，且f(x0)>0，证明：f(x0)>2(x0－)． 【答案】(1)当a≤0时，f(x)无极值点，当a>0时，f(x)有一个极值点； (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）对函数求导，讨论的不同的范围求出函数极值点的情况 （2）由（2）可得，将值代入，构造函数，可得它的单调性，进而求出的范围，再构造函数，求导，求出其单调性可得，放缩可得． (1) ，， ①当时，在单调递增，不存在极值 ②当，令，则，令，，单调递增， 又因为，（a）， 必存在，使， ，，，单调递减， ，，，，单调递增， 所以是的极小值点， 综上所述：当