第11讲 利用导数解决零点问题压轴题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第11讲 利用导数解决零点问题压轴题 方法总结： 1.函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 2.解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有: （1）方程法：直接解方程得到函数的零点； （2）图象法：直接画出函数的图象分析得解； （3）方程与图象法：令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解. 3.利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 典型例题： 例1．（2022·北京朝阳·高三期末）已知函数，． (1)求曲线在处切线的斜率； (2)求函数的极大值； (3)设，当时，求函数的零点个数．并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】 （1）利用导数的几何意义可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求得极值； （3）先讨论时，函数的零点个数，再讨论时，利用零点定义将已知转化为讨论函数与的交点个数，研究函数的单调性及最值即可得解. (1) 由，知，即切点 求导，则切线的斜率 所以曲线在处切线的斜率为. (2) 函数的定义域为，求导， 令，得 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 故当时，函数取得极大值 所以函数的极大值为 (3) 函数，求导， 当时，，故函数在上单调递增， 又，，所以方程在有且仅有一个根， 即函数在有一个零点. 当时，讨论函数的零点个数，即讨论方程的根的个数， 即讨论方程的根的个数，即讨论函数与的交点个数， 求导，令，得或 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 又，，又，所以函数与没有交点， 即函数在上无零点. 综上可知，当时，求函数的零点个数为个. 【点睛】 方法点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值，利用导数研究含参函数的零点有两种方法： （1）利用导数研究函数的极（最）值，转换为函数的图像与x轴的交点问题，应用分类讨论思想，在含参函数含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题； （2）参数分离，即由分离参变量，得到，转化为研究与直线的图像的交点问题. 例2．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数，，． (1)当时，函数有两个零点，求的取值范围； (2)当时，不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)； (2),. 【解析】 【分析】 （1）令，可得，将问题转化为与有两个交点，应用导数研究的单调性、极值，进而确定区间值域，即可得的取值范围； （2）由题设可得，构造，应用导数研究的单调性且极小值为，进而讨论a判断的整数解个数求的取值范围． (1) 当时，， 由得：，即， 令，则， ∴时，在内递增， 时，在内递减， 时，在内递减， 时，在内递增， ∴极大值，极小值， ∴在上值域为，在上值域为，在上值域为，在上值域为， ∴要使函数有两个零点，则； (2) 当时，由得：． 令，则． 令，则，即在上单调递增，又，， ∴在上有唯一零点，此时在上递减，在,上递增． ， 令，则，故上，在上， ∴在上递减，在上递增，则，即， ∴． 当时，；当时，． ①若，则，此时有无穷多个整数解，不合题意； ②若，即，因为在,上单调递减，在,上单调递增， 所以时，，，所以无整数解，不合题意； ③若，即，此时，故0，1是的两个整数解， 又只有两个整数解，因此且，解得． ∴,． 【点睛】 关键点点睛：第二问，通过构造中间函数研究其单调性、极值，进而讨论参数判断的整数解个数是否符合题设. 例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．其中．． (1)讨论的单调性； (2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有； (3)设，若关于的方程为实数）有两个正实根，，求证：． 【答案】(1)当为奇数时，在，上单调递减，在单调递增；当为偶数时，在单调递增，在上单调递减； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求导后，分为奇数和为偶数两种情况下求单调区间；（2）求出点坐标，得到，构造函数，求导后研究其单调性