专题06 分段数列问题-备战2022年高考数学二轮重难点微专题

2022届高三数学二轮微专题6 分段数列问题 【基础诊断】 1. (2021·全国·高考真题(理)改编)记为数列的前n项和,,则= 【答案】 【解析】, 当n=1时,, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 2. (2021·湖北黄冈中学改编)已知数列的通项公式为bn=则= 【答案】 【解析】 当n为偶数时,Sn=(-2+5)+(-8+11)+…+[-(3n-4)+(3n-1)]=, 当n为奇数时,Sn=Sn+1-an+1=-[3(n+1)-1]=-, 【范例导航】 【考向一】分段数列求通项 1.(湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考(五)数学试题改编) 已知数列满足,.求数列的通项公式; 【答案】 因为,所以, 由①,可得②,两式作差得, 所以当m为奇数时,; 当m为偶数时, 综上所述,. 2. (2015·天津·高考真题(理))已知数列满足,且成等差数列.求的值及的通项公式. 【答案】 , 【解析】由已知,有,即, 所以,又因为,故,由,得, 当时,, 当时,, 所以的通项公式为 【真题演练】 1.(2021·全国·高考真题)已知数列满足, 记,写出,,并求数列的通项公式; 【答案】 【解析】[方法一]【最优解】: 显然为偶数,则, 所以,即,且, 所以是以2为首项,3为公差的等差数列, 于是. [方法二]:奇偶分类讨论 由题意知,所以. 由(为奇数)及(为偶数)可知, 数列从第一项起, 若为奇数,则其后一项减去该项的差为1, 若为偶数,则其后一项减去该项的差为2. 所以,则. [方法三]:累加法 由题意知数列满足. 所以, , 则. 所以,数列的通项公式. 2. (2021江苏扬州模拟题)已知数列满足,则= 【答案】【解析】略 【考向二】分段数列求和 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-9,a2为整数,且a5≤0,a6≥0. (1) 求{an}的通项公式; (2) 设b1=,bn+1=(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn. 【答案】(1)an=2n-11 (2)Tn= 【解析】 设{an}的公差为d,由题意得所以≤d≤.因为a2∈Z,所以d=2,所以an=2n-11. (2) 设b1=,bn+1=(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn. 由题可知,当n为偶数时,bn+bn+1=(-2)n=2n. ①当n为奇数(n≥3)时,Tn=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(bn-1+bn)=b1+22+24+…+2n-1=+=. 当n=1时也符合上式. ②当n为偶数时, Tn=Tn-1+bn=+an-1=+2n-13. 所以Tn= 【真题演练】 1.(2020·天津·高考真题)已知为等差数列,为等比数列,. (Ⅰ)求和的通项公式; (2)对任意的正整数,设求数列的前项和. 【答案】(1),;(2). 【解析】 (1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为q. 由,,可得d=1. 从而的通项公式为. 由, 又q≠0,可得,解得q=2, 从而的通项公式为. (2)当n为奇数时,, 当n为偶数时,, 对任意的正整数n,有, 和 ① 由①得 ② 由①②得, 由于, 从而得:. 因此,. 所以,数列的前2n项和为. 2.(2021·全国·高考真题)已知数列满足, (1)记,写出,,并求数列的通项公式; (2)求的前20项和. 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)方法一:由题意结合递推关系式确定数列的特征,然后求和其通项公式即可; (2)方法二:分组求和,结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】 解:(1)[方法一]【最优解】: 显然为偶数,则, 所以,即,且, 所以是以2为首项,3为公差的等差数列, 于是. [方法二]:奇偶分类讨论 由题意知,所以. 由(为奇数)及(为偶数)可知, 数列从第一项起, 若为奇数,则其后一项减去该项的差为1, 若为偶数,则其后一项减去该项的差为2. 所以,则. [方法三]:累加法 由题意知数列满足. 所以, , 则. 所以,数列的通项公式. (2)[方法一]:奇偶分类讨论 . [方法二]:分组求和 由题意知数列满足, 所以. 所以数列的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列; 同理,由知数列的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列. 从而数列的前20项和为: . 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!1 学科网(北京)股份有限公司 $ 2022届高三数学二轮微专题6 分段数列问题 【基础诊断】 1. （2021·全国·高考真题（理）改编）记为数列的前n项和，，则= 2. (2021·湖北黄冈中学改编)已知数列的通项公式为bn＝则= 【考向