专题04 三角形中的范围与最值问题-备战2022年高考数学二轮重难点微专题

2022届高三数学二轮微专题4 三角形中的范围与最值问题 【基础诊断】 中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC. 则A= 若BC=3,则周长的最大值为 . 【答案】(1) (2) 【解析】(1)由正弦定理可得:, , , (2)由余弦定理得:, 即. (当且仅当时取等号), , 解得:(当且仅当时取等号), 周长,周长的最大值为. 【范例导航】 【考向一】利用基本不等式求最值 的内角A,B,C所对的边分别为,已知. (1)求角C. (2)设D为边AB的中点,的面积为2,求的最小值. 【答案】(1)(2) 【解析】 (1)由已知可得, 由正弦定理得, 所以,又,所以. (2)由,即,所以. 由,所以, 则,当且仅当时取等号,所以的最小值为. 【跟踪训练】 (2016·山东·理T16)在△ABC中,角A,B,C的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=. (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C的最小值. 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】(1)证明由题意知2, 化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. 从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c. (2)解由(1)知c=,所以cos C=, 【考向二】转化为三角函数求最值 1.如图,在等边中,,点在线段上. (1) 若,求的长; (2)若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值. 【答案】(1)(2)当时, 的面积的最小值为 【解析】 【详解】 解:(1)在△OMP中,∠OPM=60°,OM=,OP=2, 由余弦定理得, 得 解得PM=1 (2)设∠POM=α,0°<α<60°, 在△OMP中,由正弦定理, 得=, 所以OM=, 同理ON=. 故S△OMN=OM·ON·sin∠MON =× = = = 因为0°<α<60°, 60°≤2α+60°≤180°, 所以当α=15°时,sin(2α+60°)的最大值为1, 此时△OMN的面积取到最小值. 即∠POM=15°时,△OMN的面积的最小值为6-2. 2.的内角的对边分别为,已知. (1)求; (2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围. 【答案】(1) ;(2). 【解析】 (1)根据题意,由正弦定理得,因为,故,消去得. ,因为故或者,而根据题意,故不成立,所以,又因为,代入得,所以. (2)因为是锐角三角形,由(1)知,得到, 故,解得. 又应用正弦定理,, 由三角形面积公式有: . 又因,故, 故. 故的取值范围是 【跟踪训练】 1.[2019年全国Ⅲ卷(理)T18]的内角的对边分别为,已知. (1)求; (2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)根据题意,由正弦定理得,因为,故,消去得. ,因为故或者,而根据题意,故不成立,所以,又因为,代入得,所以. (2)因为是锐角三角形,由(1)知,得到, 故,解得. 又应用正弦定理,, 由三角形面积公式有: 又因,故, 故. 故的取值范围是 2.(2021·盐城、南京·一模18)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=B+3C. (1)求sinC的取值范围; (2)若c=6b,求sinC的值. 【答案】(1)(0,). (2) 【解析】(1)由A=B+3C及A+B+C=π,得2B+4C=π, 所以B=-2C,所以A=+C. 由得 得0<C<,故sinC的取值范围为(0,). (2)若c=6b,由正弦定理有sinC=6sinB,① 由(1)知B=-2C,则sinB=sin(-2C)=cos2C.② 由①②得sinC=cos2C=1-2sin2C,所以12sin2C+sinC-6=0, 解得sinC=或sinC=-, 又sinC∈(0,),所以sinC=. 【考向三】转化为其它函数型求最值 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,. (1)求证:存在,使得; (2)求面积S的最大值. (1) 证明:由,可得: 由正弦定理得: 所以 所以 即 所以 当时,符合题意 此时令,得: 所以存在,使得 (2)解:由(1)知 令 在时, 在时, 所以是,取得极大值,也是最大值 此时面积为. 【跟踪训练】 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足. (1)求的值; (2)若,求b的取值范围 【答案】(1);(2). 【解析】(1)因为 所以, 即 因为,所以 又因为 解得:. (2)∵,可得, 由余弦定理可得: ∵,∴ 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网