第七章 复数 章末回顾与提升（Word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

一、复数的有关概念 1．复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答． 2．处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部． (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i， (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数z对应的点在直线x－y＝0上． 解：(1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2. (2)z为纯虚数，则 即故a＝0. (3)z对应的点在第一象限，则 ∴∴a＜0，或a＞2. ∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0， ∴a＝2. [训练1] (1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－2 (2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (1)A　解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A． (2)D　解析：因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.故选D． 二、复数相等 复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题． 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y. 解：设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi. 又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i， ∴∴或或或 ∴或或或 [训练2] 已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－. (1)化简复数z； (2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值． 解：(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－ ＝－4－3i－＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i. (2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0， ∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0， ∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0， ∴解得 三、复数的几何意义 1．复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题． 2．在复平面内确定复数对应点的步骤 (1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)． (2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)． (1)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝________，b＝________． (1)C (2)－3　－10　解析：∵＝2＋， ∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)， 即∴ [训练3] (多选)已知i为虚数单数，下列说法中正确的是(　　) A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上 B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为.若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥ CD　解析：满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，A错误；设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i.所以解得所以z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD． 四、复数的四则运算 进行复数代数运算的策略： (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算． ①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)； ②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)·(a－bi