[名校联盟]湖南师范大学附属中学高一数学教案：反证法

教材：反证法 目的：要求学生初步学会反证法的步骤，并能用以证明一些命题。 过程： 一、提出问题：初中平几中有一个命题： “过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”。 二、如何证明： 1，（教师给出如下方法） 证：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾) ∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作图。 2．指出这种证明方法是“反证法”。[来源:Z|xx|k.Com] 定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。 即：欲证p则q，证：p且非q（反证法） 3，反证法的步骤：1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。[来源:Zxxk.Com] 2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 4，反证法：1）反设（即假设） p则q（原命题） 反设p且非q。 2）可能出现三种情况： ①导出非p为真——与题设矛盾。 ②导出q为真——与反设中“非q“矛盾。 ③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。 三、例一（P32例3） 用反证法证明：如果a>b>0，那么 。[来源:学&科&网Z&X&X&K] 证一（直接证法） ， ∵a>b>0,∴a ( b>0即 EMBED Equation.3 ,∴ ∴ 证二（反证法）假设 不大于 ，则 [来源:学+科+网] ∵a>0,b>0,∴ ① 或 ② 由①、②（传递性）知： 即 a < b（与题设矛盾） 同样，若 （与题设矛盾） ∴ ． 例二、（P32--33例4）用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 证明：反设AB、CD被P平分 ∵P不是圆心，连结OP 则由垂径定理： OP(AB，OP(CD 则过P有两条直线与OP垂直（矛盾） ∴弦AB，CD不被P平分 例三、用反证法证明： 不是有理数。 证：假设 是有理数，则不妨设 （m,n为互质正整数） 从而： ，