第1章 周期变化（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①，②，③，④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 021次互换座位后，小兔的位置对应的是(　　) ①猴 ②兔 ③猫 ④鼠 开始 ①猫 ②鼠 ③猴 ④兔 第1次 ①鼠 ②猫 ③兔 ④猴 第2次 ①兔 ②猴 ③鼠 ④猫 第3次 A．编号①　　　　　 B．编号② C．编号③ D．编号④ 答案：D 2．已知函数f(x)的周期为5，当0＜x＜5时，f(x)＝x＋log4x，则f(54)＝(　　) A．5　　 B．6 C．7　　　 D．8 解析：∵函数f(x)的周期为5，当0＜x＜5时，f(x)＝x＋log4x，则f(54)＝f(5×10＋4)＝f(4)＝4＋log44＝4＋1＝5. 答案：A 3．定义在R上的函数f(x)的周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析：f＝f＝f＝－f＝－1. 答案：B 4．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：因为f(x＋3) ＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)． 答案：D 5．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 解析：由f(1－x)＝f(1＋x)得f(－x)＝f(x＋2)，又f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数． 由f(1)＝2知f(－1)＝－2，所以f(3)＝－2， 又f(x)为奇函数，x∈(－∞，＋∞)，所以f(0)＝0. 又因为f(1－x)＝f(1＋x)，令x＝1， 所以f(0)＝f(2)＝0，f(4)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， f(49)＝f(1)＝2，f(50)＝f(2)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(49)＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×0＋2＋0＝2. 答案：C 6．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(6)＝________. 解析：f(6)＝f(2×2＋2)＝f(2)＝3. 答案：3 7．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则f＝________. 解析：函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数．又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f＝f＝f＝－f.因为在[0,1]上有f(x)＝x2，所以f＝2＝，故f＝－. 答案：－ 8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式． 解析：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)∵x∈[2,4]， ∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. ∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]． [B能力练] 9．(多选题)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有＞0，下列命题中真命题有(　　) A．f(3)＝0 B．直线x＝－6是函数y＝f(x)图象的一条对称轴 C．函数y＝f(x)在区间[－9，－6]上为增函数 D．函数y＝f(x)在区间[0,2 014]上的图象与x轴有335个交点 解析：根据题意，取x＝－3，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，从而f(x＋6)＝f(x)．因为y轴是函数图象的对称轴，所以直线x＝－6也是函