第4讲 函数的零点问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第4讲 函数的零点问题 方法总结： 1.零点问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值 2.零点问题常见处理方法： （1）代换法：将相等的函数值设为，从而用可表示出，将关于的表达式转化为关于的一元表达式，进而可求出范围或最值 （2）利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称，则；同理，若关于中心对称，则也有。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 3. 求解复合函数零点问题的技巧： （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围 典型例题： 例1．（2022·青海西宁·高三期末）已知函数若函数有6个零点，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用数形结合可得在上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】 设，则，作出函数的大致图象，如图所示， 则函数有6个零点等价于在上有两个不同的实数根， 则解得. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程在上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解. 例2．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数f（x）=ex（x22x +1a）x恒有2个零点，则a的取值范围是（       ） A． B．（，1） C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先由导数得出单调性并画出其简图，再结合的图象，根据函数恒有两个零点等价于函数及的图象有两个交点，得出a的取值范围. 【详解】 令，得．令，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减． 的最大值是，作出函数及的图象，如图所示，函数恒有两个零点等价于函数及的图象有两个交点，所以，解得． 故选：A． 例3．（2022·山东莱西·高三期末）已知函数，，若函数在内有3个不同的零点，则实数k的取值范围为（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】 【分析】 先考虑的情况，再考虑的情况，把函数有3个零点转化为方程有3个实根，化简，构造两个新函数，图像有3个交点，画图得答案. 【详解】 ， 当时，显然有，即不是的零点； 当时，函数在内的零点个数即为方程在上的实根个数 当时，有，即； 当时，有，即 所以函数在内有3个不同的零点等价于与的图像有3个不同的交点，作出图像如图： 由图可知或 故选：B. 例4．（2022·全国·高三专题练习）设函数在区间上存在零点，则的最小值为（       ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案. 【详解】 设t为在上的零点，则，所以，即点在直线， 又表示点到原点距离的平方，则， 即， 令，可得， 因为，所以，得在上为单调递增函数， 所以当t=0是，， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】 解题的关键是根据的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数求解，分析、计算难度大，属难题. 例5．（2022·安徽蚌埠·高三期末（文））已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（       ） A．0 B．2 C．－1 D．－2 【答案】D 【解析】 【分析】 将问题转化为与的交点问题，再根据数形结合思想可求解. 【详解】 函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解， 令，，即函数的图象与有四个不同的交点， 两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示： 所以， 不妨设， 则， 所以. 故选：D 例6．（2022·陕西·高三期末（理））已知函数恰有4个零点，则a的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 把的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数即可解决． 【详解】 当时，，所以不是的零点； 当时，由，即，得， 则的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数． 作出函数的大致图象（如图所示）， 由图可知． 故选：D 过关练习： 1．（2022·全国·高三阶段练习（文））若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则的零点个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】 【分析】 分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数与的部分图象，再借助图象求解作答. 【详解】