第6讲 函数的单调性问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第6讲 函数的单调性问题 方法总结： 1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格 2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解 3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式 典型例题： 例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在区间上是单调减函数，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可知在上有恒成立，即可得关于的不等式组，由此可得相应可行域，结合的几何含义，即可求其最小值. 【详解】 由题意知：在上，恒成立， ∴，即由不等式组可得如下可行域， ∴为可行域内的点到原点的距离的平方，其最小值为O到距离的平方， 故， 故选：C 【点睛】 关键点点睛：由函数在区间内单调递减知其导函数在该区间内恒小于等于0，得到关于的不等式组，结合目标式，应用线性规划思想求最小值. 例2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，函数的图象过定点，对于任意，有，则实数的范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由图象过定点可得，设，结合已知条件可得在递增，求的导数，令，由二次函数的性质可得，从而可求出实数的范围. 【详解】 解：因为的图象过定点，所以，解得， 所以，因为对于任意， 有，则，设， 即， 所以，令， 因为，则，所以要使在恒成立，只需， 故，整理得，解得， 故选:A. 【点睛】 关键点睛： 本题的关键是由已知条件构造新函数，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式. 例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由求解. 【详解】 已知函数， 则， 因为在，上为增函数，在上为减函数， 所以，即， 解得 ， 所以实数的取值范围为 故选：B 【点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 例4．（2022·江苏·高三专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数的单调性与导数的关系可得在区间上恒成立，求得当时，即可得解. 【详解】 因为，所以， 又函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 因为， 当时，，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】 本题考查了导数、三角恒等变换及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题. 例5．（2022·安徽亳州·高三期末（理））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合函数单调性可求得实数的取值范围. 【详解】 因为，则， 由题意可知，对任意的，，即， 令，则， 因为函数、在上均为减函数 ，则函数在上为减函数， 故. 故选：A. 例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用导数研究函数的单调性，f(x)在内存在单调增区间，等价于在上有有解，然后参变分离即可求解﹒ 【详解】 ∵函数在区间内存在单调递增区间， ∴在区间上有解(成立)， 即在区间上成立， 又函数在上单调递增， ∴函数在上单调递增， 故当时，取最小值，即， 即，得． 故选：D﹒ 例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，若对任意的正实数t，在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由在R上恒成立，整理成二次项系数为正的二次三项式，则其对恒成立，分离参数后，求出关于的函数的最小值，即得的范围． 【详解】 由题意在R上恒成立，其中， 整理得对恒成立， 所以对恒成立， ， 令，， 时，，递减，时，，递增， 所以， 所以的最小值是16， 所以． 故选：D． 例8．（2022·河南南阳·高三期末（理））已知函数，若对任意，恒有成立，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知不等式的形式构造函数，利用函数的单调性，结合导数进行求解即可. 【详解】 因为， 所以由 ， 构造函数，所以有， 即