解密24不等式选讲(讲义)-【高频考点解密】2022年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练（全国通用）

解密24 不等式选讲 考点热度 ★★★☆☆ 内容索引 核心考点1 含绝对值不等式的解集及其应用 核心考点2 不等式的证明 高考考点 三年高考探源 预测 含绝对值不等式的解集及其应用 2021年全国甲卷文理23 2021年全国甲卷文理23 2020新课标全国Ⅰ 23 2020新课标全国Ⅱ 23 2019新课标全国Ⅱ 23 2019新课标全国Ⅲ 23 从近三年高考情况来看，主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式呈现，难度中等． 不等式的证明 2019新课标全国Ⅰ 23 2020新课标全国Ⅲ 23 核心考点一 含绝对值不等式的解集及其应用 考法 含绝对值不等式的解集及其应用 1、（四川省大数据精准教学联盟2022届高三第一次统一检测文科数学试题）已知函数，M为不等式的解集． (1)求M；(2)若a，，且，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析﹒ 【解析】(1)分类讨论去绝对值符号求解不等式即可； (2)由得，则(a，b)表示以原点为圆心，半径为的圆内部的点，故可设(a，b)为(，)，，，代入即可求出其范围. (1)由已知得 当时，由得(舍去)； 当时，由得，∴； 当时，由得，∴． 综上可得的解集． (2)由，即， 令，，，， ∴， 由，∴，∴． 由，∴，，∴． 2、（四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高三第二次联考数学（理）试题）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)设，均为正数，，的最大值为，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 【解析】（1）零点分段法求解绝对值不等式；（2）由柯西不等式求出，再由绝对值三角不等式求出的最小值. (1)时，不等式为． 当时，不等式化为，解得，此时解集为； 当时，不等式化为，解得，此时解集为； 当时，不等式化为，解得，此时无解． 综上所述，不等式的解集为． (2)由柯西不等式得， ∴，则． 当且仅当，即号时等号成立． 则的最大值为． 由已知得：，故． ∴． 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值为5． 3、（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知函数. (1)画出的图象；(2)求不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】（1）将函数解析式化简为分段函数形式，再作出分段函数的图像；（2）将不等式转化为求解或，再结合函数图像求解不等式即可. (1)由题意，，作出函数图像如图所示， (2)，即或，由图可知，当时，；当时，即或，所以的解集为. 4、（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知. (1)解不等式； (2)若，关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）用分类讨论思想去绝对值符号化简不等式求解； （2）利用绝对值值三角不等式求得的最大值，然后解相应不等式可得． (1)依题意， 所以或或 解得，所以不等式的解集为. (2)因为， 所以（当且仅当时等号成立）， 因为对关于的不等式成立，所以， 解得或. 所以满足条件的实数的取值范围是. ☆技巧点拨☆ 含绝对值不等式的解法 1．公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，利用公式|x|<a⇔−a<x<a(a>0)和|x|>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式； 2．平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧,去掉绝对值,需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)； 3．零点分段法：对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a,|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解； 4．几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c,|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 （1）定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. （2）定理2:如果a,b,c是实数,那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|,当且仅当(a−b)(b−c)≥0时,等号成立. （3）推论1:||a|−|b||≤|a+b|. （4）推论2:||a|−|b||≤|a−b|. 5．图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|−a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. 核心考点二 不等式的证明 考法 不等式的证明 1、（2022·河南南阳·高三期末（理））已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，记函数，且的最大值为M，