类型四 图形变换方式不确定类问题-2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练（全国通用）

类型四图形变换方式不确定类问题 1.（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ） A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 【答案】C 【分析】 是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可． 【详解】 解：连接AC，BD，如图所示． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B． ∵∠B=60°， ∴∠D=∠B=60°． ∴和都是等边三角形． 点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置： （1）当点P移动到BC边的中点时，记作． ∵是等边三角形，是 BC的中点， ∴． ∴． ∴是直角三角形． （2）当点P与点C重合时，记作． 此时，是等边三角形； （3）当点P移动到CD边的中点时，记为． ∵和都是等边三角形， ∴． ∴是直角三角形． （4）当点P与点D重合时，记作． ∵， ∴是等腰三角形． 综上，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是： 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形． 故选：C 【点睛】 本题考查了菱形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定等知识点，熟知特殊三角形的判定方法是解题的关键． 2.（2021·江苏连云港市·中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长； （2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； （3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______． 【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）； 【分析】 （1）由、是等边三角形，，， ，可证即可； （2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长； （3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长． 【详解】 解:（1）∵、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点在处时，，点在A处时，点与重合． ∴点运动的路径的长； （3）取中点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在处时，，点在处时，点与重合， ∴点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB， ∵∠CGA=90°， ∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动， ∵四边形ABCD为正方形，BC为边长， ∴∠COB=90°，设OC=x， 由勾股定理即， ∴， 点G所经过的路径长为长=， 点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动， 点H所经过的路径长为的长度， ∵点G运动圆周的四分之一， ∴点H也运动圆周的四分一， 点H所经过的路径长为的长=， 故答案为；． 【点睛 本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键． 3．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，边长为2的正方形的对角线交点与点重合，连接，． （1）求证：； （2）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长； （3）将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）-1或+1 【分析】 （1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得∠ACD=∠BCE，，CD=CE，进而即可得到结论； （2）先求出DC=，AD=，再证明，进而即可求解； （3）分两种情况：①