类型二 与圆切线有关的证明与计算-2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练（全国通用）

类型二与切线有关的证明与计算 1.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD． 若∠C＝50°，则∠AOD的度数（ ） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】C 【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥AB．∵∠C＝50°，∴∠B＝90°－∠C＝40°．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB＝40°．∴∠AOD＝∠B＋∠ODB＝80°．故选C． 2.如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（　　） A．1﹣ B． C．2﹣ D．1+ 【解析】连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB， ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×＝2，∴CD＝AB＝1， ∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF＝××﹣＝1﹣．故选：A． 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（　　） A．4﹣ B．2﹣ C．2﹣π D．1﹣ 【解析】连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图， ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝∠CAB＝45°， ∵⊙O与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∴四边形ODCH为矩形， ∴OH＝CD＝， 在Rt△OAH中，∠OAH＝45°， ∴OA＝OH＝2， 在Rt△OBD中，∵∠B＝45°， ∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2， ∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE ＝×2×2﹣ ＝2﹣π． 故选：B． 4.已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC=. （1）如图1，若=60°，①直接写出的值为_________； ②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为_________； .（2）如图2，若＜60°，且=，DE=4，求BE的长. 【解析】本题考查圆的有关知识和等边三角形知识以及全等三角形和相似三角形知识. （1） ①利用等边三角形和角平分线性质可得到=.再利用切线性质可得到∠DAF＝30°.利用30°直角边等于斜边的一半得=.②利用三角形ADF的面积减去弓形AD的面积即可. （2） 连接AD，证明△ADF与△ADE全等，得到DF=DE=4,再利用已知的比求出DC，再结合相似三角形可求出BE. {答案}解：（1）①连接AD,AO. 在△ABC中，AB=AC,∠BAC＝＝60°， ∴△ABC是等边三角形. ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠CBD=∠ACD=∠CAD=30°,AD=CD ∴△AOD是等边三形 ∴∠OAD=∠AOD=60° ∵AF是的切线，AO是半径 ∴∠OAF=90°,∠FAD=30°,∠CAF=60° 在△ACF中,∠F＝180°－∠ACD-∠CAF=180°-30°-60°=90°. ∴在Rt△ACF中,∠F=90°,∠FAD=30°, , ∴.故填. ②由①题知，∠AOD＝60°,∠DAF=30°， ∵AO=AD=2, ∴DF=1,AF=. ∴弓形AD的面积＝=-=. ∴＝－（）＝. （2）连接AD ∵在中，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=∠ADB ∵四边形ABCD是的内接四边形 ∴∠ADF=∠ABC=∠ADE. ∵BD是△ABC的角平分线 ∴∠ABD=∠ACD=∠CAD ∵AF是的切线，则∠FAD是的弦切角 ∴由弦切角定理，得∠FAD=∠FCA=∠DAE 在△ADE和△ADF中， ∴△ADF≌△ADE(ASA) ∴DF=DE=4 ∵,∴DC=6. ∵∠DCE=∠DBC,∠CDE=∠CDB ∴△DCE∽△DBC ∴,即,∴DB=9 ∴BE=DB-DE=9-4=5. 5.如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）2 【解析】 【分析】 （1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠B，根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论； （2）根据三角形中位线定理得到OE＝BD＝×8＝4，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）连接OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠B， ∵CD是⊙O的切线，D为切点， ∴∠CDO＝90°， ∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO