类型一 圆基本性质的证明与计算-2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练（全国通用）

类型一圆的基本性质证明与计算 1.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】连接OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以PA=. 2.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB= （ ） A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，可知： PA=PB=3，故选B． 3.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（　　） A．20° B．35° C．40° D．55° 【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可． 【解答】解：连接FB． ∵∠AOF＝40°， ∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠FEB＝∠FOB＝70° ∵EF＝EB ∴∠EFB＝∠EBF＝55°， ∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF＝20°， ∴∠EFO＝∠EBO， ∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4.如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 延长CO交于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可． 【详解】 延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，如图， ∵CD⊥OB， ∴∠DCB=90°, 又， ∴∠DCB=∠AOB， ∴CD//AO ∴ ∵OC=2，OB=4， ∴BC=2, ∴，解得，CD=； ∵CD//AO， ∴，即，解得，PO= 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了轴对称---最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 5.如图，⊙P与x轴交与点A（—5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C，若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接PA、PB、PC,过点P分别作PF⊥AB，PE⊥OC，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE为矩形， ∴PE＝OF,PF＝OE. ∵∠ACB＝60°， ∴∠APB＝120°. ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°. ∵PF⊥AB， ∴AF＝BF＝3. ∴PE＝OF＝2. ∵tan30°＝,cos30°＝， ∴PF＝,AP＝. ∴OE＝,PC＝. 在RT△PEC中，CE＝ ＝， ∴OC＝CE＋EO＝＋2. 6.如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出． 【详解】 解：是的直径，弦， ，． 又 在和中， ， 故选：B 【点睛】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中． 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=，DF=5，则BC的长为（） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解析】连接BD． ∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD． ∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°． ∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD． ∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5． 在Rt△AEF中，sin∠CAB= ∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8． 由DE2=AE ▪EB，得． ∴AB=16+4=20． 在Rt△ABC中，sin∠CAB= ∴BC=12． 8.如图，AB是的直径，直线DE与相切于点C，过点A，B分别作，，垂足为点D，E，连接AC，BC．若，，则的长为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题过程】连接OC， 因为，， 所以 所以 因为A