7.1-7.3 复数-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

复数 1 虚数单位的性质 叫做虚数单位,并规定: ① 可与实数进行四则运算; ② ,这样方程就有解了,解为,. ③ 以为周期,即. 2 复数的概念 ① 定义 形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,叫做实部,叫做虚部.全体复数所成的集合叫做复数集.复数通常用字母表示,即. ② 分类 3 复数相等 也就是说,两个复数相等,充要条件是他们的实部和虚部分别相等. PS 只有两个复数全是实数,才可以比较大小,否则无法比较大小. 4 共轭复数 的共轭复数记作,且. 5 复数的几何意义 ① 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. ② 复数的几何意义 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数的实质是有序实数对,有序实数对既可以表示一个点,也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数. ③ 复数的模 向量的模叫做复数的模,记作或,表示点到原点的距离, 即 , 6 代数形式的四则运算 ① 运算法则 设, ② 加减法的几何意义 几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义, 即 若, (1) 表示到的距离,即 (2) 表示以为圆心,为半径的圆. 复数的三角表示 ① 一般地,任何一个复数都可以表示成 的形式,其中,是复数的模,是以轴的非负半轴为始边,向量所在射线为终边的角,叫做复数的辐角,叫做复数的三角形表示式. 规定:在范围内的辐角的值为辐角的主值,通常记作,即. ② 复数的代数形式与三角形式的互换 ③ 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设, 则, 【题型一】复数的概念与分类 【典题1】求解 . 【解析】 且以为周期 . 【典题2】 求当为何实数时,复数满足: (1为实数; (2为纯虚数; 【解析】复数. (1)若为实数,则,解得或; (2)若为纯虚数,则,解得. 【典题3】 已知关于的方程总有实数解,则的取值范围是 . 【解析】 得有实数解, ,, 消去得, , , 即 ,,即, 即的取值范围是. 【点拨】 ① 复数相等:,注意分辨出复数的实部和虚部. ② 若关于的方程有实数解,则. 【题型二】复数的几何意义与运算 【典题1】 已知复数(i为虚数单位),下列说法 其中正确的是 . ①复数在复平面内对应的点在第四象限; ②; ③的虛部为; ④. 【解析】 , 复数在复平面内对应的点的坐标为,在第四象限; ;的虚部为;. 故①②正确;③④错误. 【点拨】 ① 遇到复数的除法,分母分子同乘“分母的共轭复数”,把复数最终化简成形式; ② 因为,,所以的模等于. 【典题2】已知复数的实部为,虚部的绝对值为,则下列说法错误的是( ) A.是实数 B. C. D.在复平面中所对应的点不可能在第三象限 【解析】由已知得,或, 则, (,避免了分类讨论与计算) ,则,正确,错误; 的实部大于, 故在复平面中所对应的点不可能在第三象限,正确. 故选. 【点拨】 ① 若,则,, . ② 注意一些复数的性质可减轻计算量. 【典题3】设复数满足,则 . 【解析】 方法1 , , , (,) .得. . 又,故2. 方法2 向量法 , 在复平面上分别对应的点在以原点为圆心,半径为的圆上, , 在复平面上对应的点在圆上, 由向量的平行四边形法则,可知四边形是平行四边形, 如下图易知是等边三角形且边长为,易求, 由向量的三角形法则可知. 【点拨】 ① ,;方法直接运用了代数方法求解; ② 复数加减法的几何意义 复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义. 即 ③ 方法运用的是复数与向量之间的关系,再借助几何的手段进行求解. 【典题4】 若,且,则的最小值是 . 【解析】 方法1 待定系数法 设 , 则 解得 当时,取到最小值. 方法2 几何法 表示对应的点在以为圆心,半径的圆上, 就是圆上的点到的距离, 其最小值为圆心到的距离减去半径,即, 故答案为. 【点拨】 ① 方法用了待定系数法,把问题转化为式子的最值问题,用到函数思想,此时特别注意自变量的取值范围; ② 方法利用了复数的几何意义, 若 表示到的距离,即 表示以为圆心,为半径的圆. 【典题5】复数满足,则的取值范围是 . 【解析】表示复数到两点,的距离之和, 而. 又, 点在线段上,(确定点所在的轨迹) 表示点与线段上点的距离, 易得直线的方程, 原点到此直线的距离,而,. 则的取值范围是. 【典题6】已知复数满足,则的最大值是 . 【解析】 方法1 复数对应点在圆心,半径的圆上, 而则表示点到点,的距离之和, 其中, 而, 的最大值为. 方法2 设,. 则 . ,. 当