9.2 用样本估计总体 -【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

用样本估计总体 1总体取值规律的估计 ① 频率直方图 (1) 画频率直方图的步骤 求极差--决定组距与组数--将数据分组--列频率分布表--画频率分布直方图. (2) 小长方形的面积=频率 (3) 在直方图中，各小长方形的面积之和等于. 2 总体百分位数的估计 ① 第百分位数的概念 一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. ② 计算一组个数据的第百分位数 第一步：按从小到大排列原始数据； 第二步：计算; 第三步：若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. ③ 四分位数的概念 四分位数：包含第百分位数，第百分位数，第百分位数. 中位数相当于第百分位数，第百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 3 总体集中趋势的估计 一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数. 一般地，对数值型数据(如用水量，身高，收入，产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 4 总体离散程度的估计 ① 方差，标准差的概念 (1)假设一组数据是，用 这组数据的方差，为了计算方便也可以用 标准差是 ② 方差，标准差的意义 方差越大，表明数据波动越大，越不稳定；方差越小，表明数据波动越小，越稳定. 【题型一】常见统计数据 【典题1】 某地一年之内12个月的月降水量从小到大分别为：46，51， 48，53，56， 53，56，64，58，56，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（　　) A．51，58 B．51，61 C．52，58 D．52，61 【解析】该组数据从小到大排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71 因为，计算结果不是整数， 所以分位数为第项数据，即； 因为，计算结果是整数， 所以分位数为第9项和第10项数据的平均数，即． 【点拨】计算一组个数据的第百分位数的步骤： (1)按从小到大排列原始数据； (2)计算; (3)若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据； 若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 【典题2】甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（　　) A．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定 B．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力 C．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好 D．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好 【解析】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10， 所以甲的平均数为， 甲方差； 乙打靶的成绩分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7， 乙的平均数为， 乙方差； 所以，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙波动比较小，故正确， (不求方差，看图也可知道甲的波动比乙的要打些) 从折线统计图看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故正确， 甲打靶的成绩为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5， 乙打靶的成绩为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，中位数为7， 甲9环以及9环以上的次数为3次，乙9环以及9环以上的次数为1次， 而二人的平均数相同，故甲成绩更好点，故正确， 甲乙的平均数相同，而甲的中位数大于乙的中位数，故甲的成绩比较好，故错误， 故选：． 【典题3】 已知的平均数为，标准差为，则的平均数和标准差分别为 . 【解析】的平均数为，标准差为， 的平均数为，标准差为： 【点拨】若原有的数据平均数为，方差为，在原数据基础上进行线性变化，则新的平均数为，新的方差为. 【典题4】为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，则它们的大小关系为(　　) 【解析】根据三个频率分步直方图知， 甲数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差、标准差最大； 丙数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差、标准差小， 而乙数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差、标准差最小， 总上可知