类型四 抛物线型问题-2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练（全国通用）

类型四抛物线形问题 1.在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l上． （1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围； （2）当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）a≤且a≠0；（2）m=-3或m=3；（3）或a≤-2； 【解析】 【分析】 （1）点，代入，求出；联立与，则有，即可求解； （2）根据题意可得，，当时，有，或；①在左侧，随的增大而增大，时，有最大值，； ②在对称轴右侧，随最大而减小，时，有最大值； （3）①时，时，，即； ②时，时，，即，直线的解析式为，抛物线与直线联立：，，则，即可求的范围. 【详解】 解：（1）点，代入， ， ， ； 联立与，则有， 抛物线与直线有交点， ， a≤且a≠0； （2）根据题意可得，， ， 抛物线开口向下，对称轴， 时，有最大值， ∴当时，有， 或， ①在左侧，随的增大而增大， 时，有最大值， ； ②在对称轴右侧，随最大而减小， 时，有最大值； 综上所述：m=-3或m=3； （3）①时，时，， 即； ②时，时，， 即， 直线的解析式为， 抛物线与直线联立：， ， ， ， 的取值范围为或a≤-2. 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键． 2.已知平面直角坐标系（如图1），直线的经过点和点. （1）求、的值； （2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值； ( 图 1 O x y )（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标. 【答案】：（1） （2）（3）（4,8） 【解析】：（1） ∵直线的经过点 ∴ ∴ ∵直线的经过点 ∴ ∴ （2）由可知点的坐标为 ∵抛物线经过点、 ∴ ∴， ∴抛物线的表达式为 ∴抛物线的顶点坐标为 ∴,, ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作轴，垂足为点，则∥轴 ∵, ∴△∽△ ∴ ∵直线与轴的交点为点 ∴点的坐标为, 又， ∴， ∵ ∴, ∵∥轴 ∴ ∴ ∴ 即点的纵坐标是 又点在直线上 点的坐标为 3.已知函数（，为常数）的图象经过点. （1）求，满足的关系式； （2）设该函数图象的顶点坐标是，当的值变化时，求关于的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值． 【答案】（1）c=2b（2）（3）2或6 【解析】 【分析】 （1）把点代入函数即可得到结论； （2）根据顶点坐标即可求解； （3）把函数化为，根据图像不经过第三象限进行分类讨论进行求解. 【详解】 （1）将点代入， 得， ∴； （2），， ∴， ∴， （3）， 对称轴， 当时，，函数不经过第三象限，则； 此时，当时，函数最小值是0，最大值是25， ∴最大值与最小值之差为25；（舍去） 当时，，函数不经过第三象限，则， ∴， ∴， 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最大值； 函数的最大值与最小值之差为16， 当最大值时，， ∴或， ∵， ∴； 当最大值时，， ∴或， ∵， ∴； 综上所述或； 【点睛】 此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质. 4.如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）联结AD、DC，求的面积； ( 备用图 )（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标． 【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或 【解析】：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上 ∴，解得 ∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4） （2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴，， ∴ ∴ ∴ （3）∵，， ∴△CAD∽△AOB，∴ ∵OA=OC， ∴ ∴，即 若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形 则也为锐角三角形，点P在第四象限 由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（） 过P作PH⊥OC，垂足为点H，则， ①当时,由得， ∴，解得， ∴ ②当时,由得， ∴，解得，∴ 综上得或 5.如图，抛物线经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），连接AC、BC，将△ABC绕点C逆时针旋转，使点A落在x轴上，得到△DCE，此时，DE所在直线与抛物线交于第一象限的点F. （1）求抛物线对应的函数关系式. （