类型三 利润问题-2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练（全国通用）

类型三利润问题 1.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价__元，最大利润为__________元． 【答案】：5元,625元 【解析】：设每件价格降价元，利润为元， 则： 当，（元） 答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润． 2.某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． （1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式． （2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式． （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）y＝；（2）W＝;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【解析】 【分析】 （1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论； （2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式； （3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论． 【详解】 解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将（40，140），（60，120）代入得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180； 当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n， 将（90，30），（60，120）代入得， 解得：， ∴y＝﹣3x+300； 综上所述，y＝； （2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400， 当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000， 综上所述，W＝； （3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400， ∵﹣1＜0，对称轴x＝＝105， ∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大， ∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600， 当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000， ∵﹣3＜0，对称轴x＝＝65， ∵60＜x≤90， ∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600， ∴当x＝65时，W最大＝3675， 答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【点睛】 本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键． 3.为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况： 时间 销售数量（个） 销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量） 甲种型号 乙种型号 第一月 22 8 1100 第二月 38 24 2460 （1）求甲、乙两种型号水杯的售价； （2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润． 【答案】（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；（2）w＝﹣5a+800，第三月的最大利润为550元． 【解析】 【分析】 （1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，根据题意列出方程组求解即可， （2）根据题意写出利润关于的一次函数关系式，列不等式组求解的范围，从而利用一次函数的性质求利润的最大值． 【详解】 解：（1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，则 ①②得： 把代入①得： 答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元； （2）由题意得：甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个， 所以： 又 由①得：， 所以不等式组的解集为： 其中为正整数，所以 随的增大而减小， 当时，第三月利润达到最大，最大利润为：元． 【点睛】 本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键． 4.某政府工作报告中强调，2019年着重推