专题15 导数综合题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）

专题15 导数压轴题 1．（2021•广州一模）已知函数． （1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点； （2）若有两个零点，，且，证明：． 【答案】见解析 【详解】证明：（1）， （1），又（1）， 曲线在点，（1）处的切线方程为， 即，当时，， 故直线过定点，； （2），是的两个零点，且， ，可得， ， 令，， 构造函数，， 令，则，则在上单调递增， 而（2），，则在上单调递增， （2），可得，则， 即，则． 2．（2021•深圳一模）已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有且仅有3个零点，求的取值范围．（其中常数，是自然对数的底数） 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）的定义域为，且， ①若，则，当时，，单调递增， 时，，单调递减， ②若，当时，， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， ③若，则， 所以在上单调递减， ④若，当时，， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 综上所述：若，在上单调递增，在上单调递减， 若，在和上单调递减，在上单调递增， 若，在上单调递减， 若，在和上单调递减，在上单调递增． （2）令，则， 所以依题意可得函数与的图像有3个不同的交点， 由（1）知必有或， ①当时，在和上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为（1）， 的极大值为（1），的极小值为（a）， 又（a）， 所以函数与的图像至多有1个交点，不合题意， ②当时，在和上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为（1），的极大值为（a）， 所以必须有成立， 因为，所以， 所以， 所以， 下面求不等式的解集， 令，则不等式等价于， 令函数， 则， 令，有， 函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 又（2），所以， 即恒成立，故函数单调递减， 又（2）， 所以当且仅当时，， 所以不等式的解集为， 即不等式的解集为． 所以的取值范围为． 3．（2021•湛江一模）已知函数，． （1）若恒成立，求的取值集合； （2）若，且方程有两个不同的根，，证明：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）解：令，， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 因为，所以当时，，与题意不符； 当时，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 令，， 当时，，单调递增，当，，单调递减， 所以（1），即，所以， 所以，解得， 所以的取值集合为． （2）证明：不妨设，由题意可得，． 所以，，所以， 要证，即证，即证， 两边同除以，即证，即证， 即证， 令． 即证不等式恒成立． 设，， 设，，所以，单调递减， ，即， 所以，所以， 所以在上是减函数． 所以在处取得极小值． 所以． 则． 4．（2021•广东模拟）已知函数在处取到极值为． （1）求函数的单调区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间是：和；单调递增区间是：；（2） 【详解】（1）由已知定义域为， ， 由，又，得， ，所以， 从而又． 由得：；由得：或． 故的单调递减区间是：和；单调递增区间是： （2）等价于在上恒成立， 令，则只需即可． ，令， 则． 所以在上单调递增， 又，， 所以有唯一的零点，在上单调递减，在，上单调递增． 因为，两边同时取自然对数，则有， 即． 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 又，所以，即． 所以，即， 于是实数的取值范围是 5．（2021•广东一模）已知函数． （1）讨论函数的零点个数； （2）设，是函数的两个零点，证明：． 【答案】（1）当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点；（2）见解析 【详解】令，即，画图可知， 当时，直线与的图象有且只有一个交点，即一个零点； 当时，设直线与切于点，，切线斜率为， 切线方程为，把代入上式可得，， 当时，直线与有两个交点，即两个零点； 当时直线与相切于一点，即一个零点； 当时直线与没有交点，即无零点． 综上可知，当时，无零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点． （2）因为有两个零点，由（1）可知， 故令，则，故的最大值为（e）， 所以（e），则有， 所以，故，所以， 要证，即证， 因为，是函数的两个零点， 所以，解得， 即证， 不妨设，则， 令，则证， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以（1），即， 以上各步均可逆，故． 6．（2021•惠州一模）已知函数，其中是自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）设在上存在极大值，证明：． 【答案】（1）当时，在递增，在递减，在，递增，当时，在上单调递增，时，在递增，在，递减，在递增；（2）见解析 【详解】（1）由题意，函数， 则， 当时，令，单调递增， 当时，令，解得：或，令，解得：， 故在递增，在递减，在，递增， 当时，令，解得：或，