专题14 圆锥曲线综合题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）

专题14 圆锥曲线压轴题 1．（2021•广州一模）已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点作倾斜角互补的两条直线，，若直线与曲线交于，两点，直线与圆交于，两点，当，，，四点构成四边形，且四边形的面积为时，求直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由已知得，圆的圆心为，半径，点， 因为线段的垂直平分线与相交于点，所以， 所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆， 设曲线的方程为， 则，，， 所以椭圆的方程为． （2）由题意可得直线，的斜率都存在且不为0， 设直线的方程为，，，，， 由得， △， 所以，， 所以 ， 由于直线过圆的圆心，则，且，两点到直线的距离相等， 设直线的倾斜角为，则，即， 又点到直线的距离， 则四边形的面积， 由于四边形的面积为， 则，解得， 所以直线的方程为． 2．（2021•深圳一模）设是坐标原点，以，为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和恰好有两个交点． （1）求的方程； （2）是外的一点，过的直线，均与相切，且，的斜率之积为，记为的最小值，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意，，即， 又以为直径的圆和恰好有两个交点，即， 又， ， 椭圆的方程为； （2）由题意，，的斜率存在且不为零，设过点，的切线， 联立，消去并整理得， ， 与相切，， 化简并整理，得， 整理成关于的一元二次方程得， 设，的斜率分别为，， 易知，为方程的两根， ，， ， ， 易知当时，有， 又， ， 即的取值范围为． 3．（2021•湛江一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其中，在上，且的离心率为2． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，的角平分线与曲线的交点为，，试判断与是否垂直，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）由题意可得，即，， 又在上，可得， 解得，， 则双曲线的方程为； （2）由（1）可得，曲线的方程为， 在直角三角形中，， ，，， 设的角平分线与轴交于， 由角平分线的性质定理可得， 又， 解得， 所以， 可得直线的方程为，即， 联立，可得， 设，，，，可得△， ，， ， 所以， 所以与不垂直． 4．（2021•广东一模）已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且为坐标原点）的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于，，异于点两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意可得， 所以由题意可得且，解得，， 所以椭圆的方程为：； （2）由（1）可得，设，，，， 设直线的方程为：， 联立可得且整理可得：， △， 且，， ，整理可得：， 整理可得， 整理可得，即， 或， 若，则直线方程为：，直线恒过，与点重合， 若，则直线方程为：， 所以直线恒过定点， 所以到直线的距离的最大值为的值为 所以点到直线距离的最大值． 5．（2021•惠州一模）已知椭圆的左、右焦点分别是双曲线的左、右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右焦点分别为，，经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且满足的点也在椭圆上，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）椭圆的左右焦点分别为，， 而双曲线的顶点分别为，， 所以． 又椭圆的上顶点为，而双曲线的一条渐近线为， 则有，解得． ，所以椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，一定存在），代入，并整理得， △恒成立，设，，，， 则，． 设，，由，得， 即，又点在椭圆上，故， 即，解得（舍负）， 因为满足的点也在椭圆上，所以四边形是平行四边形， 设四边形的面积为，则有， 代入，得四边形的面积． 6．（2021•深圳模拟）在平面直角坐标系中，是坐标原点，是直线上的动点，过作两条相异直线和，其中与抛物线交于、两点，与交于、两点，记、和直线的斜率分别为、和． （1）当在轴上，且为中点时，求； （2）当为的中位线时，请问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）当在轴上时，，不妨设在轴上方， 设，， 所以，， 因为在抛物线上， 所以，解得， 所以点的坐标为， 所以， 由对称性可得知当在轴下方时，， 所以． （2）设直线，直线， 联立， 所以， 设，，，， 所以，， 当为的中位线时，为的中点，为的中点， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以， 同理可得， 所以，为方程的两个根， 所以△， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以存在时，成立． 7．（2021•广东二模）已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，且为坐标原点）的面积为．