专题10 数列综合题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）

专题10 数列综合题 1．（2021•广州一模）已知等差数列的前项和为，公差，是，的等比中项，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求． 【答案】（1）（2）189 【详解】（1）由是，的等比中项，可得， 即为，化为， 由，可得，即， 解得，， 则； （2）， ，① 可得，② ②①可得， 则 ， 所以． 2．（2021•深圳一模）设数列的前项和，满足，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）求的通项公式． 【答案】（1）见解析（2） 【详解】（1）证明：，且， ，即， 数列为首项为1，公差为2的等差数列； （2）解：由（1）可得：，即， 当时，， 又当时，， ． 3．（2021•湛江一模）已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求数列的通项公式． 【答案】（1）数列是首项为1，公比为2等比数列（2） 【详解】（1）证明：， ， 又， 数列是首项为1，公比为2等比数列； （2）解：由（1）可得：，， ，， 又，也适合上式， ． 4．（2021•福田区校级二模）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且，，成等比数列． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）记，求数列的前项和． 【答案】（1）（2） 【详解】由题得： 即，得． ，，． 的通项公式． ． ． 5．（2021•广东一模）记为数列的前项和，已知，____． （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，证明：，． 从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）若选条件①：，①； 当时，②， ①②得：， 所以（常数）， 故数列是以为首项，2为公差的等差数列； 所以（首项符合通项）， 所以． 选条件②：，①； ②， ①②得：（常数）， 故数列是以为首项，2为公差的等差数列； 所以（首项符合通项）， 所以． 选条件③：，． 所以（常数）， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以， 整理得， 故，当时，满足关系式． ． 证明：（2）由于， 所以， 则． 6．（2021•惠州一模）已知等差数列和等比数列满足，，，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和． 【答案】（1），（2）5014 【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， ，， ，． （Ⅱ）当的前60项中含有的前6项时， 令，可得， 此时至多有项（不符）； 当的前60项中含有的前7项时， 令，可得， 且，，是和的公共项， 则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项． ． 7．（2021•深圳模拟）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并作出解答． 问题：已知数列的前项和，等比数列的前项和为，，且______，判断是否存在唯一的，使得，且．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，， 经检验，当时也适合上式， 故数列的通项公式为， 所以， 若选①： 因为，所以，， 又，所以， 则等比数列的公比为， 故数列是递增的等比数列，且， 故不存在，使得，且． 若选②： 因为，所以， 故，则等比数列的公比为， 故数列的通项公式为， 所以数列是递减的等比数列， 当时，使得， 所以存在唯一的，使得，且． 若选③： 因为，所以， 设等比数列的公比为， 则，解得， 所以数列是摆动的等比数列，且， 当时，使得， 当时，使得， 故不存在唯一的，使得，且． 8．（2021•广东二模）已知数列满足，，． （1）证明：为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）见解析（2） 【详解】（1）证明：， ， 注意到， 是以2为首项，以2为公比的等比数列； （2）解：由（1）知，是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则， ，又， 是以1为首项，以1为公差的等差数列， 则，即， ， ， 两式作差可得： ． ． 9．（2021•潮州一模）已知数列满足，为数列的前项和． （Ⅰ）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）（2）见解析 【详解】证明：（Ⅰ）由，得 当时，， 两式作差可得：，即． ． 则． 当时，，得． 数列是以为首项，以2为公比的等比数列， ， 则． （Ⅱ）， 所以 ， 所以． 10．（2021•珠海一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中． 问题：正项等比数列的公比为，满足，，_____？ （1）求数列的通项公式： （2）若，为数列前项和，若对任意正整数恒有成立，求的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详