专题8 与隐零点有关的恒成立问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题8 与隐零点有关的恒成立问题 一、考情分析 我们知道导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的,我们称之为“隐零点”(即能确定其存在,但又无法用显性的代数式进行表达),基本解决思路是:形式上虚设,运算上代换,数值上估算,策略上等价转化,方法上分离函数(参数),技巧上反客为主. 二、解题秘籍 (一) 利用隐零点求恒成立问题中的参数范围 利用隐零点求恒成立中的参数范围的主要策略: 1.把所给参数用不含有参数的函数的零点表示,由此确定参数范围或最值 2.直接利用含有参数的函数的隐零点求参数范围或最值 3.若在区间单调递增,且,在在有唯一零点,若该零点无法求出,可设为,则在上递减,在上递增,所以,求解时若中含有参数,有时可根据解出参数,代入,使中只含有,然后根据范围估算范围,这就是隐零点的主要应用. 4.根据不等式恒成立求参数整数值的最值一般会涉及隐零点 【例1】(2022届山东省德州市高三上学期期末)已知函数. (1)若在处的切线斜率为,求实数a的值; (2)当时,判断的极值点个数; (3)对任意,有,求a的取值范围. 【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解;(2)构造函数,根据极值点的概念即可求解;(3)将可转化为,令,只需求函数的最小值,利用导数法求解即可. 【解析】(1), ,解得 (2), 令 当时,. 易证:,所以. 所以. 所以时,,单调递增,时,,单调递减, 所以是的唯一极值点,所以只有一个极值点. (3)任意,可转化为 令,, 令,,令,得,在递增,在单调递减, 且,,,,所以时, 在内存在唯一零点, 时,,,单调递增,时,,,单调递减,时,,,单调递增, 所以, 因为,所以 所以 因为,所以, 所以,即. 【例2】(2022届甘肃省张掖市高三上学期期末)已知函数, (1)若在上单调递增,求实数的取值范围; (2)若,对,恒有成立,求实数的取值范围. 【分析】(1)求导函数,由恒成立,变量分离可得解. (2)构造函数,求导函数,再分类讨论得解. 【解析】(1) 因为在上单调递增,所以在恒成立, 即在恒成立, 当时,上式成立, 当,有,需, 而,,,,故 综上,实数的取值范围是. (2)设,,则, 令, 则,在单调递增,也就是在单调递增, 所以. 当即时,,,不符合; 当即时,,,符合; 当即时, 根据零点存在定理,,使, 当时,,在单调递减, 时,,在单调递增, 因为成立,故只需即可,有,得; 综上得,. 【例3】已知定义在上的函数. (1)求证:存在唯一的零点,且零点属于; (2)若k∈Z,且对任意的恒成立,求k的最大值. 【分析】(1)结合的单调性以及零点存在性定理证得结论成立. (2)将问题转化为在上恒成立,通过构造函数法,结合导数来求得的最大值. 【解析】(1)的定义域为, ,所以在上递增. , 所以存在唯一的零点,且零点属于. (2)由g(x)>k(x﹣1)对任意的x>1恒成立, 得:k,(x>1), 令h(x),(x>1), 则, 设f(x0)=0,则由(1)得:3<x0<4, ∴h(x)在(1,x0)递减,在(x0,+∞)递增, 在上的极小值也即是最小值为, 由于是整数,所以的最大值是3. (三) 利用函数的隐零点证明不等式 利用函数的隐零点证明不等式,通常转化为利用隐零点求最值 【例4】已知函数,. (1)设函数,求的最大值; (2)证明:. 【分析】(1)利用导数分析函数在定义域上的单调性,由此可求得函数的最大值; (2)原不等式等价于,利用导数分析函数的单调性,求出函数的最小值,结合基本不等式可证得所求不等式成立. (1)解:因为,所以. 当时,;当时,. 所以在上为增函数,在上为减函数,从而. (2)证明:原不等式等价于, 则,令,则, 所以,在上单调递增. 令,则,, 所以,存在唯一使得,即, 当时,;当时, 此时在上单调递减,在上单调递增, 要证,即要证. 于是原问题转化为证明不等式组, 由,得,代入. 对两边取对数得,代入,得. 因为,当且仅当,时,等号成立, 所以. 【例5】(2022届广东省潮州市高三上学期期末)已知函数,在定义域上有两个极值点. (1)求实数a的取值范围; (2)求证: 【分析】(1)函数有两个极值点等价于有两个变号零点,再列出式子求解即可; (2)根据韦达定理可得,与的关系,将其代入不等式,于是要证的不等式转化为证明,即证明(a),利用导数分析单调性证明即可. 【解析】(1), 因为函数的定义域上有两个极值点,,且, 所以方程在上有两个根,,且, 即在上有两个不相等的根,, 所以,解得, 当时,若或,,,所以函数在和,上单调递增, 若,所以函数在,上单调递减, 故函数在上有两个极值点,,且, 所以,实数的取值范围是; (2)证明:由(1)知,,是方程在上有两