专题9 与函数不等式证明有关的问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题9 与函数不等式证明有关的问题 一、考情分析 利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型,也是一个难点,证明不等式实质是证明不等式恒成立.求解此类问题的关键是找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的. 二、解题秘籍 (一) 把证明转化为证明 若的最小值可求,通常使用这种方法,有时当的最小值无法直接确定时,可先构造一个关于极值点的函数,再证明. 【例1】(2022届江西省重点中学协作体高三2月联考)已知函数,函数为的导函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时,证明:. 【解析】(1)定义域为, ∴, 当时,则时,,故的单调增区间是; 当,则时,;当时,, 故在)单调递增,在单调递减. 综上,时的单调增区间是;a<0时的单调增区间是,的单调减区间是. (2)由(1)知,当时,在取得最大值,为, 所以等价于. 设,则, 当时,;当时,. 所以在单调递增,在单调递减,故时,. 所以时,,即得证. 【例2】(2022届云南省昭通市高三期末)已知函数. (1)设是的极值点,求的单调区间; (2)当时,求证:. 【解析】 (1)的定义域为, 是的极值点, , 即, 在上单调递增,在上单调递增, 在上单调递增,且, 的单调递减区间为,单调递增区间为. (2)由可得, 所以, 令,则, 在上单调递增,且. ,使得,有,① 且在区间上单调递减,在区间上单调递增, , 由①得,即有, , 又在区间上单调递增, , , , ,结论得证. (二) 证明转化为证明 若不等式两边均为关于某一变量的函数,可通过移项,构造一个函数来证明. 【例3】设a为实数,函数f(x)=-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当a>ln2-1且x>0时,-2ax+1. 【解析】 (1)由f(x)=-2x+2a(x∈R)知=-2. 令=0,得x=ln2. 当x<ln2时,<0,故函数f(x)在区间(-∞,ln2)上单调递减; 当x>ln2时,>0,故函数f(x)在区间(ln2,+∞)上单调递增. ∴f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞), f(x)极小值为f(ln2)=-2ln2+2a=2-2ln2+2a,无极大值; (2)要证当a>ln2-1且x>0时,-2ax+1, 即证当a>ln2-1且x>0时,+2ax-1>0. 设g(x)=+2ax-1(x>0). 则=-2x+2a, 由(1)知=2-2ln2+2a. 又a>ln2-1,则>0. 于是对∀x∈R,都有>0, ∴g(x)在R上单调递增. 于是对∀x>0,都有g(x)>g(0)=0. 即+2ax-1>0, 故-2ax+1. 【例4】已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R). (1)当a>0时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)当a=0时,证明: (其中e为自然对数的底数). 【解析】 (1)的定义域为, , 当,即时,在递增. 当时,,在上递增. 当,即时,在上,递增. 综上所述,当时,的递增区间为, 当时,的递增区间为. 当时,,的递增区间为. (2)当时,由化简得, 构造函数, ,在上递增, , 故存在,使得,即. 当时,递减; 当时,递增. 所以时取得极小值,也即是最小值. , 所以,故. (三) 把证明转化为证明 在证明时,若没有最小值,或有最小值,但无法求出,可考虑利用该方法,但要注意,是的充分不必要条件,此种方法只能在一些特殊情况下使用,不是通法. 【例5】(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期期末)设函数,. (1)当时,过原点作的切线,求切线方程; (2)不等式对于恒成立,求的取值范围; (3)在(1)的条件下,证明:. 【解析】 (1),设切点坐标为,则切线斜率为,切线方程为, 将代入切线方程,解得,切线方程为 (2)整理得,;令;则; 令,; 所以单调递减,,;所以, 在上递增,在上递减,所以; 因为,所以, 所以; 所以; (3)原式整理得: 令,,所以在递增,在递减, ; 令,,所以在递减,在递增, ; 因为, 所以 证明完毕. (四) 对所给不等式通过变形,再构造函数 有时直接证明所给不等式比较困难,可先对所给不等式进行变形,再构造函数,常见的变形方法有提取公因式、去分母、局部放缩等. 【例6】(2022届四川省南充高三月考)已知函数. (1)若函数为增函数,求实数的取值范围; (2)求证:当时,. 【解析】 (1)因为,所以, 由函数为增函数,则恒成立, 即在R上恒成立, , 即实数的取值范围是 (2)证明:由(1)知当时,为增函数, 当时,, 要证当时,,只需证当时,, 即证在上恒成立, 设,则,令解得, 在上单