专题7 与零点有关的恒成立问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题7 与零点有关的恒成立问题 一、考情分析 已知含有同一个参数,若对任意,恒成立,求参数范围,是恒成立问题中的一类典型问题,备受命题者青睐,求解此类问题大多要利用的变号零点. 二、解题秘籍 (一)若均为多项式函数,解决恒成立问题,可通过因式分解或利用判别式求解. 【例1】已知不等式对于一切实数恒成立,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】当时,对于一切实数恒成立,求出;当时,不满足题意. 【解析】因为,令,即,此时对于一切实数恒成立,因此对于一切实数恒成立, 所以,即,故;当时,关于的方程有实数解,即存在实数使得0,不满足题意.故选B 【例2】已知,不等式在上恒成立,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题意,原不等式转化为,两边同时平方并化简得,由此分析出,进而得到,由此可解出答案. 【解析】∵,且, ∴, ∴, ∴, ∵上述不等式恒成立, ∴,即(否则取,则左边,矛盾), 此时不等式转化为, ∴,解得, ∴,故选D. 【例3】若是恒成立,则a的值为 . 【答案】 【分析】根据与有相同的正零点求解. 【解析】显然与的零点相同,对于,,设 的两个零点分别为,因为,则有1个正零点,由得,所以是的零点,故,解得. (二) 若均为单调函数,解决恒成立问题,可根据有相同零点(或无零点)求解 【例4】已知当时,均有不等式成立,则实数的取值范围为_. 【答案】. 【分析】结合不等式的特点,对参数进行分类谈论,构造函数,结合函数的图像与性质即可求出结果. 【解析】当时,不等式,不恒成立,不符合题意; 当时,,令,则, 由,解得, 当时,,则单调递增, 当时,,则单调递减, 所以当时,有最大值, 要使命题成立,则,解得; 当时,函数是增函数,存在唯一的零点, ,,即为增函数, 又,所以有唯一的,要使不等式恒成立, 只有,,解得; 综上所述,的取值范围为. 【例5】(2022届江西省景德镇市高三质检)已知函数(其中,),当时恒成立,则的取值范围为_. 【答案】 【分析】将拆分为、分别研究单调性,令可得,讨论该方程、情况下参数a、b、c的关系或范围,进而利用导数求目标式的范围. 【解析】令,则, ∴时,时, ∴在上递减,在上递增,故, 若,则在上递减,在上递增, 令,即,, 1、即时,在上的两个零点为,同时它们恰好为的零点, ∴,即,又,则, 此时,,令,则, ∴递减且时,则,故. 2、,即时,在上,此时只需即即可. 此时,,令,则,即在递减, ∴,而,故. 综上, 三、跟踪检测 1.已知、,且,对任意均有,则( ) A., B., C., D., 2.函数,若对,均有,则实数a的最小值为 A. B. C.1 D.e 3.不等式对任意正整数均成立,则实数的取值范围_ 4. 若时 恒成立,则的取值范围是 . 5.已知不等式对任意正整数恒成立,则实数取值范围是_. 6.(2021届湖北省十一校高三3月联考)已知不等式对任意恒成立,则实数a的取值范围是_. 7.若,则a的取值范围是 8..若,则k的取值范围是 9.(ax+3)(x2﹣b)≤0对任意恒成立,其中、是整数,则的取值的集合为_. 10.关于x的不等式对任意恒成立,则实数a的取值范围是 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 学科网(北京)股份有限公司 $专题7 与零点有关的恒成立问题 一、考情分析 已知含有同一个参数,若对任意,恒成立,求参数范围,是恒成立问题中的一类典型问题,备受命题者青睐,求解此类问题大多要利用的变号零点. 二、解题秘籍 (一)若均为多项式函数,解决恒成立问题,可通过因式分解或利用判别式求解. 【例1】已知不等式对于一切实数恒成立,则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时,对于一切实数恒成立,求出；当时,不满足题意. 【解析】因为,令,即,此时对于一切实数恒成立,因此对于一切实数恒成立, 所以,即,故；当时,关于的方程有实数解,即存在实数使得0,不满足题意.故选B 【例2】已知,不等式在上恒成立,则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意,原不等式转化为,两边同时平方并化简得,由此分析出,进而得到,由此可解出答案． 【解析】∵,且, ∴, ∴, ∴, ∵上述不等式恒成立, ∴,即（否则取,则左边,矛盾）, 此时不等式转化为, ∴,解得, ∴,故选D． 【例3】若是恒成立,则a的值为 . 【答案】 【分析】根据与有相同的正零点求解. 【解析】显然与的零点相同,对于,,设 的两个零点分别为,因为,则有1个正零点,由得,所以是的零点,故,解得. (二) 若均为单调函数,解决恒成立问题,可根据有相同零点（或无零点）求解 【例4】已知当时,