第02讲 三角形三大模型之“飞镖型”与“8”字型-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期精选专题思维拓展演练（苏科版）

第2讲 三角形三大模型之“飞镖型”与“8”字型 知识图谱 典题精练 【例1】如图,,,,试求的角度. 【分析】 本题要求的度数,由于图中没有出现三角形,故不能直接应用三角形内角和定理或外角性质解题.需在原有图形上添加辅助线,构造出三角形. 【解析】 法一:延长交于. ∵是的一个外角, ∴. 又是的一个外角, ∴. 法二:连接并延长至, ∵是的一个外角, 是的一个外角 ∴ ∴ 法三:连接, ∵ ∴ 又∵ ∴ 【例2】⑴如图1,则= . ⑵如图2,则 . 图2 图1 【解析】 ⑴本题既可按“8字模型”来考虑,也可按照飞镖模型来做,也可以应用外角定理来解决,此题可以锻炼学生一题多解,熟练灵活的应用. ①如图1,连接,应用“8字模型” ,. ② 如图2,应用飞镖模型 ∵ ∵ ∴ ③如图3,应用外角定理 ∵ 又∵ ∴ ⑵210° 利用两次飞镖模型. 【例3】⑴如图1,求= . ⑵如图2,求 . 图1 图2 【分析】 本题既可以利用“8字模型”;也可以利用三角形内外角和定理. 【解析】 法一:∵∠A+∠B=∠5+∠6 ① ∠C+∠D=∠4+∠6 ② ∠E+∠F=∠4+∠5 ③ ①+②+③=2(∠4+∠5+∠6) ∵. ∴. 法二:∵, ① , ② . ③ 而,,, 且. ④ ∴①+②+③④得, 法三:连接, ∴ ⑵.连接利用两次飞镖模型. 【例4】已知:如图,,,分别平分和. ⑴ 求的大小; ⑵ 当,为任意角时,探索与,间的数量关系, 并对你的结论加以证明. 【分析】 观察图形,找已知角与所求角之间的关系,发现、在两个不同的三角形,用三角形内外角的关系把、与联系起来,即可求出,并探索出三角关系. 【解析】 ⑴ 根据三角形内角和定理,在和中, ,, ∴ ① 同理 ② ∵,, ∴①+②得, 即 ⑵ 当、为任意角时,, 证明:根据三角形外角性质,可得: , , ∴ ∴ 又∵、分别平分、 ∴, ∴ ∴,即. 【例5】如图,和中,,又有. ⑴求的度数; ⑵判断与的位置关系,并对你的结论加以证明. 【解析】 ⑴ ∵ ∴ 又∵ ∴. ⑵ ,证明如下: 由飞镖模型可知:, 又由⑴知, ∴, ∴. 【例6】如图,求证: . 【解析】 如图延长,交于点 则由飞镖模型得 在中, (三角形两边之和大于第三边) ∴ 即 ∴. 【例7】观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论.(1)如图①,在△ABC中,P为边BC上一点,则BP+PC AB+AC(填“>”、“<”或“=”)(2)将(1)中点P移到△ABC内,得图②,试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.(3)将(2)中点P变为两个点P1、P2得图③,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由. 【解答】解:(1)BP+PC<AB+AC,理由:三角形两边之和大于第三边, (2)△BPC的周长<△ABC的周长.理由:如图,延长BP交AC于M,在△ABM中,BP+PM<AB+AM,在△PMC中,PC<PM+MC,两式相加得BP+PC<AB+AC,于是得:△BPC的周长<△ABC的周长, (3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长,理由:如图,分别延长BP1、CP2交于M,由(2)知,BM+CM<AB+AC,又P1P2<P1M+P2M,可得,BP1+P1P2+P2C<BM+CM<AB+AC,可得结论. 思维拓展训练(选讲) 训练1. 如图,处在处的南偏西的方向,处在处的南偏东方向,处在处的北偏东方向.求的度数. 【分析】 、、三边的连线构成,所求是的一个内角,先求出和,利用三角形内角和定理即可求出. 法一:因为处在处的南偏西的方向,处在处的南偏东方向.处在 处的北偏东方向. ∴,, ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴. 法二:∵ ∴ ∴ ∵是的外角 ∴. 训练2. 如图中的几个图形是五角星和它的变形 图① 图② 图③ ⑴图①中是一个五角星,求; ⑵图①中点向下移到上,五个角的和有无变化?(即)如图②,说明你的结论的正确性. ⑶把图②中点向上移动到上,五个角的和(即)有无变化,如图③,说明你的结论的正确性. 【解析】 ⑴180° ⑵无变化 ∵, ∴ = =180° ⑶无变化 ∵, ∴==180°. 训练3. 如图,计算 【解析】提示:连接、, 转化为和四边形的内角和之和,结果为 训练4. 如图,在中,是上任意一点,是上任意一点.试说明: . 【分析】 要证明线段的不等关系,要把线段放到三角形中去,添加一条辅助线,转化到另一个三角形中,利用边的关系定理即可证出. 【解析】 延长交于点, ∵,, ∴, 即. 训练5. 问题1: 现有一张△ABC纸片,点D、E分别是△ABC边上两点,若沿直线DE折叠. 研究(1):如果折成图①的形状,使A点落在CE上,则∠1与∠A的数量关系是_ 研究