卷01 圆锥曲线与立体几何动点轨迹-【小题小卷】冲刺2022年高考数学小题限时集训(全国专用)

专题01 圆锥曲线与立体几何动点轨迹 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30 1.（福建省三明市教研联盟校2021—2022学年联考数学试题）已知正方体的棱长为a，定点M在棱上（但不在端点A，B上），点P是平面内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为，则点P的轨迹所在曲线为（ ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】 作，，连接，以为原点建立空间直角坐标系，利用勾股定理和两点间距离公式以及，整理可知点P的轨迹. 【详解】 作，，垂足分别为 以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系： 设，，，由正方体结构特征可知，平面，易证平面，，， ，整理得： 的轨迹是抛物线。故选：D． 2.（2022全国高三专题练）如图，在同一平面内，，为两个不同的定点，圆和圆的半径都为，射线交圆于点，过点作圆的切线，当变化时，与圆的公共点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】D 【分析】 数形结合找出公共点M到点B与到直线m距离相等，符合抛物线定义，所以由定义可得到轨迹为抛物线. 【详解】 由题意画图如下： 设切线与圆的一个公共点为，过点作直线的垂线，过点作，垂足为，连接，则，，所以，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，且定点不在定直线上，根据抛物线定义知，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 故选：D． 3. （福建省福州高级中学2021-2022学年上学期期中）已知椭圆（a>b>0）的两个焦点分别为F1，F2，设Р为椭圆上一动点，角的外角平分线所在直线为l，过点F2做l的垂线，垂足为S，当点Р在椭圆上运动时，点S的轨迹所围成的图形的面积为：（ ） A．a2 B．4a2 C．' D． 【答案】C 【分析】 延长交的延长线于，可证得，且是的中点，由此可求得的长度是定值，即可求点的轨迹为圆，进而可得结果 【详解】 是以，为焦点的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，延长交的延长线于，得， 由椭圆的定义知，故有， 连接，知是三角形的中位线， ∴，即点到原点的距离是定值， 由此知点的轨迹是以原点为圆心、半径等于的圆． 故点所形成的图形的面积为． 故选：C. 4.（2021全国高三预测）如图，在正方体中，为的中点，点在底面上运动并且使，那么点的轨迹是（ ） A．一段圆弧 B．一段椭圆弧 C．一段双曲线弧 D．一段抛物线弧 【答案】C 【分析】 以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得的坐标，进而求得 ，设 与平面 所处的角为 ，进而求得 ， 然后由与的大小，利用正圆锥曲线被与中心轴成成的平面所截曲线判断. 【详解】 由题意可知，点的轨迹是一个正圆锥面和一个平面的交线，这个正圆锥面的中心轴即为直线，顶点为，顶角的一半即为. 如图，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则，，， 即，，. ∵. 设与底面所成的角为， 则， ∴， ∴该正圆锥面和底面的交线是一段双曲线弧. 故选：C. 5.（云南师范大学附属中学2021-2022学年上学期期中考试数学试题）1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，从而可得 ，，，利用勾股定理可得，再由离心率的定义即可求解. 【详解】 在中，设， ，，， ， ， ∴长轴长，， 则离心率. 故选：A 6.（2022全国立体几何专题练）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 连接、，分析得出，可知点的轨迹是以点为球心，半径长为的球面，作出图形，结合球体的体积公式可求得结果. 【详解】 连接、，因为，，且、分别为、的中点， 故且， 所以，四边形为平行四边形，故且， 平面，则平面， 因为平面，所以，， 为的中点，故， 所以，点的轨迹是以点为球心，半径长为的球面，如下图所示： 所以，线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体为球的， 故所求几何体的体积为. 故选：D. 7.（辽