专题07 单选压轴题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）

专题07 单选压轴题 1．（2021•广州一模）已知是自然对数的底数，设，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】已知是自然对数的底数，，，， 设， 则， 当时，，函数在上是增函数， 当时，，函数在上是减函数， （3），（2），而， 所以， 又因为，，为常用不等式，可得， 令， ， 当时，，函数在上是减函数， 故（2）（e）， 则，即， 则， 故： 2．（2021•深圳一模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为　　 A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】 【详解】据题意：圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．点为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系： 则，，． 圆的方程为，可设， 所以，． 故 ． 3．（2021•湛江一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且，，成等差数列，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】因为，，成等差数列， 设，公差为，，， 因为，所以， 由勾股定理可得：，解得， 由椭圆的定义可得三角形的周长为， 由，即，， 在直角三角形中，， 所以离心率 4．（2021•广东一模）若的展开式中的系数为3，则　　 A．1 B． C． D．2 【答案】 【详解】， 而的展开式的通项公式为， 故 的展开式中的系数为， 则 5．（2021•惠州一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】方程，， 即为， 可得， 则， 可得动点到定点和定直线的距离的比为常数， 由双曲线的定义，可得， 解得 6．（2021•深圳模拟）在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为　　 A． B．1 C． D． 【答案】 【详解】设最大正三角形的边长为，则， 其内部迭代出的正三角形的边长分别为，， 由余弦定理得， 同理得，，，，， 最小的正三角形的面积为． 7．（2021•广东二模）已知椭圆的短轴长为4，焦距为．过椭圆的上端点作圆的两条切线，与椭圆分别交于另外两点，．则的面积为　　 A．6 B． C． D． 【答案】 【详解】由已知可得，，，则，， ， 则椭圆方程为， 如图， 设所在直线方程为，即， 由题意，，解得． 则所在直线方程为． 联立，解得，， 由对称性可得，，，则，点到直线的距离． ． 8．（2021•潮州一模）已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于，则球的体积等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】当此四棱锥体积取得最大值时，底面， 设正方形的边长，则， 解得， 则球的半径． 则球的体积． 9．（2021•珠海一模）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第行第列的数记为，如，，则时，　　 A．54 B．18 C．9 D．6 【答案】 【详解】奇数构成的数阵，令，解得，故2021是数阵中的第1011个数， 第1行到第行一共有个奇数， 则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数， 所以2021位于第45行， 又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数， 所以2021位于第45行，从左到右第21列， 所以，， 则． 10．（2021•佛山二模）已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】由已知，因为， 所以原式可变形为， 令，， 函数与均为上的增函数，且，且（1）（1）， 当时，，，， 当时，，，， 要比较与的大小，只需比较与的大小， ， 设，则， 故在上单调递