专题06 填空中档题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）

专题06 填空中档题 1．（2021•深圳一模）冈珀茨模型是由冈珀茨提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则的最小值为　 　． 【答案】6 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 因为年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半， 所以， 即， 两边同取对数得，，即， 两边取对数得，， 即，而， 所以的最小值为6． 2．（2021•湛江一模）若某商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 8 20 40 60 70 80 根据如表，利用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，据此预测，当投入10万元时，销售额的估计值为 　 　万元． 【答案】106.5 【详解】，， 样本中心为， 将其代入回归直线方程中，有，解得， 回归直线方程为， 当时，， 当投入10万元时，销售额的估计值为106.5万元． 3．（2021•广东一模）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若，则　 　，为坐标原点）的面积为　 　． 【答案】， 【详解】由抛物线的方程可得焦点的坐标，，准线方程为， 设，，，，由题意设直线的方程：， 联立，整理可得：， 可得，， 所以，， ，所以， ， 4．（2021•惠州一模）设为常数，若的展开式中所有项的系数和为1024，则　 　． 【答案】3或 【详解】令代入二项式可得：， 所以，则或， 5．（2021•深圳模拟）若在母线长为5，高为4的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值为　　． 【答案】 【详解】如图， 圆锥的母线长为5，高为4，则底面半径为3， 要使圆锥剩余部分的体积最小，则球的体积最大，即球内切圆锥的底面与侧面， 连接，则， ，即，解得． 球的最大体积为， 又圆锥的体积为，可得剩余部分体积的最小值为． 6．（2021•广东二模）已知中，，，，点在直线上，且满足，则　 　． 【答案】 【详解】， ，且，，三点共线， ，， ，且， ． 7．（2021•潮州一模）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为　 　尺． 【答案】12.5 【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列， 由已知可冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺， 所以，解得， 所以立春的日影子长为尺． 8．（2021•珠海一模）中，内角，，对的边长分别为，，，且满足，则的最小值是　 　． 【答案】 【详解】， ， ， 所以， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，， 当且仅当时取等号，此时． 9．（2021•佛山二模）已知抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，过点且倾斜角为的直线与点仅有一个公共点，则　 　． 【答案】6 【详解】抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点， 可知，，过点且倾斜角为的直线：， 直线与点仅有一个公共点，可得， 可得可得，，解得， ． 10．（2021•湛江三模）现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为　 　． 【答案】 【详解】现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级， 要求每班至少要分配一个名额， 基本事件总数， 甲班恰好分配到两个名额，则剩下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法， 甲班恰好分配到两个名额的概率为． 11．（2021•汕头一模）写一个焦点在轴上且离心率为的双曲线方程　 　． 【答案】 【详解】焦点在轴上且离心率为，可得，所以， 所以所求的双曲线方程可以为：． 12．（2021•惠州模拟）写出一个包含有的偶函数　 　． 【答案】 【详解】根据题意，要求包含，且是偶函数， 则 13．（2021•潮州二模）根据中央关于精准脱贫的要求，我市农业经济部门随机派遣4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则专家派遣的方法的种数为　 　． 【答案】36 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将4位专家分为3组，有种分组方法， ②将分好的三组全排列，分到3个县区进行调研，有种情况， 则有种派遣方法， 14．（2021•肇庆二模）已知点是抛物