第08讲 正余弦定理在平面几何中的应用-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第8讲 正余弦定理在平面几何中的应用 解三角形与平面几何图形结合是高考的一个考点，也是难点，对于图形所给的条件，考生往往不知从何分析而失分，本文主要探究解三角形与平面几何图形相结合的常见类型及解决方法，具体来说是对正弦定理或余弦定理的运用次数，可以分为“算一次”和”算两次”，从而找到解三角形的一个有效的方法，便于分析计算，化繁为简 。另外由于这类平面几何问题一般可以一题多解，除了正弦定理或余弦定理外，有的还可以通过建系，向量，两个三角形的面积关系等方向切入。 1、涉及中线长的工具： 在中，D是AC中点， 2、涉及角平分线的工具： 中，AD是的角平分线 角平分线定理： 考点一 “算一次”问题 解题方略： “算一次”问题常见的平面几何图形有两种类型： 一种是由两个三角形拼成一个大三角形，一种是由两个三角形拼成一个四边形.所谓“算一次”问题，就是只需通过一次正弦定理或余弦定理就可以把问题角或边长算出来 ，即直接单个三角形进行突破。 【例1】如图，已知中，，，． （1）求的长； （2）若，求的长． 变式1：如图，平面四边形是由钝角与锐角拼接而成，且，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，，求的面积． 变式2：如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的值； （2）求的值． 变式3：在中，，边上的高等于，则　　 A． B． C． D． 变式4：如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________. 变式5：如图，已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且的外接圆面积为. (1)求边c； (2)若，延长CB至M，使得，求BM. 变式6：如图，是直角三角形斜边上一点，. (1)若，求角的大小； (2)若，且，求的长. 变式7：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC． 考点二 “算两次”问题 解题方略： “算两次”问题在一些平面几何问题中，所求的角或边长放在任何一个三角形中，由于条件较少，都不可能通过一次正弦定理或余弦定理求出 . 那么，可找两个三角形，通过它们的公共边或角，运用两次正弦定理或余弦定理，就可以解决问题，简称“算两次”. （一）求角 一般地，求三角形某个内角问题，可寻找其中的一条边，对其放到两个三角形，分别运用正弦定理或余弦定理，“算两次”解方程求之 . 【例2】如图，在中，，，，为内一点，． （1）若，求； （2）若，求． 变式1：如图，在中，，，，在平面内，且为外一点， （1）若，求； （2）若，求． 变式2：如图，在梯形中，，，，． （1）若，求梯形的面积； （2）若，求． （2） 求边 一般地，求三角形某个边长问题（1）可寻找其中的一个角，对其放到两个三角形，分别运用余弦定理，“算两次”解方程求之 . （2）边长可表示成某个未知角的正弦或余弦值 【例3】如图，在直角中，，，是的中点，若，则___________. 利用两角互补 【例4】如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD=3BD，AD+AC=BD+BC=2，CD=，则cosA=（　　） A． B． C． D．0 变式1：如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上两点，测出四边形各边的长度（单位：）：，且与互补，则的长为（ ）． A．7 B．8 C．9 D．6 变式2：在四边形中，，． （1）若，求； （2）若，求． 变式3：已知四边形中，与交于点，． （1）若，，求； （2）若，，求的面积． 利用公共角 【例5】如图，在中，若，则面积的最大值为__________． 变式1：如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A=30°，BD=2AD，，则△ABC的面积为______. 日期：2022/3/8 13:50:18；用考点三 中线问题 户：985794074；解题方略： 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中， 联立两个方程可得： 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 推导过程：由， 则 所以 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 【例6】已知△ABC中，AB＝3，AC＝1．∠BAC＝，，则线段AD＝（　　） A． B． C． D． 变式1：平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（　　） A． B． C． D． 变式2：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b﹣c）cosA＝acosC，b＝2，若边BC的中线等于3，则△ABC的面积为（　　） A．9 B． C．3 D． 变式3：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（       ） A．49 B．7 C． D