第07讲 解三角形的实际应用-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第7讲 解三角形的实际应用 知识点1 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 知识点2 常见距离问题 类型 图形 方法 具体 两点间不可通又不可视 余弦定理 可取某点C，使得点A，B和C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝. 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 可选取与点B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 可先在此岸一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 知识点3 常见高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 知识点4 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤 (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解． 知识点5 解三角形在实际应用问题中的易错剖析 （1）概念理解不清导致错误 ①根据题意画出图形很关键; ②在解三角形的实际问题中，经常出现一些有关的术语，如仰角、俯角、方向角、方位角等，求解时需要搞清它们的含义，否则就会出现错误。 （2）忽视题目的隐含条件导致错误 在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. （3）忽视实际问题的单位导致错误 ①注意"山或塔垂直于地面或海平面"这种隐含条件,计算时可以把空间问题转化为平面问题。②特别注意实际问题的单位,如注意速度的单位是千米/时，还是是米/时。 考点一 距离问题 解题方略： 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 1、某人从出发点向正东走后到，然后向左转再向前走到，测得的面积为，此人这时离出发点的距离为（       ） A． B． C． D． 【解析】如图所示， 由题意得：，，， ，， 由余弦定理得：， ，即此人这时离出发点的距离为. 故选：D. 2、在平地上有两点，在山的正东，在山的东偏南，且在的南偏西距离点300米的地方，则点到山脚的距离为___________米 【解析】由题意可知，设是山脚，如图所示 在中，米， 所以 由正弦定理，得，即米， 所以点到山脚的距离为米. 故答案为：米. 3、一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 【解析】如图所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， 根据正弦定理得＝， 解得BC＝10(海里)． 4、如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分