精品解析：湖南省长沙市明达中学2021-2022学年高三上学期入学考试数学试题

长沙市明达中学·2021年上学期高三数学入学考试 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合是函数的定义域，是函数的定义城，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，（，是虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是单位向量，且与夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知函数f(x)＝xlnx，则f(x) （ ） A. 在(0，＋∞)上单调递增 B. 在(0，＋∞)上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 8. 中，三边之比，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分.全选对得5分，少选得2分，多选、不选或者错选得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 区间上有两个极值点 10. 设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下面结论不正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 11. 复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 的取值范围是 12. 已知是3与12的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ） A. 2 B. C. D. 2或 三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13. 高二某班数学学习小组成员最近研究的椭圆的问题数x与抛物线的问题数y之间有如下的对应数据： 1 2 3 4 5 2 4 5 5 若用最小二乘法求得线性回归方程是，则表中的m是_______________. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，连接，若，则该双曲线的离心率为___________. 15. 如图，长方体中，AB＝4，BC＝10，，P为上的一个动点，则AP＋PC的最小值为________． 16. 若点是抛物线上一个动点，则点到直线的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为_______． 四、解答题（本题共6题，17题10分，18、19、20、21、22每题12分，共70分） 17. 已知函数. （1）求函数的定义域和最小正周期； （2）当时，求的值域. 18. 已知各项均为正数等比数列的前项和为，若，且是与的等差中项. （1）求数列通项公式； （2）若数列的前项和为，且，求. 19. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校100名学生调查得到部分统计数据如下表， 不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 20 50 学习成绩不优秀人数 30 50 合计 50 50 100 （1）运用独立性检验思想，判断是否有95%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？ （2）在“学习成绩优秀”的人数中，用分层抽样的方法抽取人．若从人中抽取人进一步分析使用智能手机对学习的影响，求恰好抽到两名学生“不使用手机”的概率． 参考数据：，其中． 0．10 0．05 0．01 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 20. 如图所示，有矩形所在平面外一点，平面，，，，为的中点． （1）求点到平面的距离； （2）探究在直线上是否存在点，使得面？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 21. 在① ，② ，③ 这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答. 已知数列的前项和为，满足___________，_______